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1、章末复习课,第二章 推理与证明,学习目标 1.理解合情推理和演绎推理. 2.会用直接证明和间接证明方法证明问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.合情推理 (1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理. (2)类比推理：由 到 的推理. (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,2.演绎推理 (1)演绎推理：由 到 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 已知的一般原理； 所研究的特殊情况； 根据一般原理，对特殊情况作出
2、的判断.,一般,特殊,大前提,小前提,结论,3.直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是 和 ： 是从已知条件推出结论的证明方法； 是从结论追溯到条件的证明方法. (2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.,综合法,分析法,综合法,分析法,反证法,题型探究,例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，试观察每组内各数之和f(n)(nN)与组的编号数n的关系式为_.,类型一 合情推理的应用,f(n)n3,解析 由于113,35823，
3、79112733,131517196443， 猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.,答案,解析,(2)在平面几何中，对于RtABC，ACBC，设ABc，ACb，BCa，则a2b2c2；cos2Acos2B1；RtABC的外接圆半径为r,把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.,解答,解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.,设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.,下面对的猜想进行证明. 如图在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，面ABC，面ABD，面ACD为三个两两垂直的侧面.,
4、设ABa，ACb，ADc，,即所证猜想为真命题.,(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有_个小正方形.,答案,解析,解析 第1个图有3个正方形记作a1， 第2个图有33个正方形记作a2， 第3个图有64个正方形记作a3， 第4个图有105个正方形记作a4， ， 正方形的个数构成数列an， 则a2a13， (1) a3a24, (2) a4a35, (3) ,ana
5、n1n1， (n1) (1)(2)(n1)，得ana1345(n1)，,类型二 综合法与分析法,证明,证明 方法一 (综合法) 因为a0，b0，ab1，,方法二 (分析法) 因为a0，b0，ab1，,所以原不等式成立.,反思与感悟,分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.,证明,证明 要证明(x2y2) (x3y3) ， 只需证(x2y2)3(x3y3)2. 只需证x63x4y23x2y4
6、y6x62x3y3y6， 只需证3x4y23x2y42x3y3. 又x0，y0，x2y20， 只需证3x23y22xy. 3x23y2x2y22xy， 3x23y22xy成立， 故(x2y2) (x3y3) .,证明,类型三 反证法,因为x0且y0， 所以1x2y且1y2x， 两式相加，得2xy2x2y，所以xy2. 这与已知xy2矛盾.,反思与感悟,反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法.,跟踪训练3 已知：ac2(bd). 求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根.,证明,证明 假设两方程都
7、没有实数根， 则1a24b2ac， 即ac2(bd)，与已知矛盾，故原命题成立.,当堂训练,1.观察按下列顺序排序的等式：9011,91211,92321,93431，猜想第n(nN)个等式应为 A.9(n1)n10n9 B.9(n1)n10n9 C.9n(n1)10n1 D.9(n1)(n1)10n10,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列. 根据已知可以推断： 第n(nN)个等式为9(n1)n10n9. 故选B.,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,3.
8、用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是 A.方程x3axb0没有实根 B.方程x3axb0至多有一个实数 C.方程x3axb0至多有两个实根 D.方程x3axb0恰好有两个实根,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A.,4.如图，这是一个正六边形的序列：,2,3,4,5,1,答案,解析,则第n个图形的边数为_.,5n1,解析 图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an6(n1)55n1.,2,3,4
9、,5,1,证明,证明 因为ab，所以ab0，,平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|2)， 只需证|a|2|b|22|a|b|0成立. 即只需证(|a|b|)20，它显然成立. 故原不等式得证.,规律与方法,1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.,3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.,本课结束,
