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1、第二章 2.4 抛物线,2.4.2 抛物线的几何性质,1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 抛物线的范围,观察下列图形，思考以下问题：,(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？,答案,抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.,思考,(2)根据图形及抛物
2、线方程 y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？,所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.,答案,梳理,抛物线y22px(p0)中，x ，y . 抛物线y22px(p0)中，x ，y . 抛物线x22py(p0)中，x ，y . 抛物线x22py(p0)中，x ，y .,0，),(，),(，0,(，),(，),0，),(，),(，0,知识点二 四种形式的抛物线的几何性质,知识点三 直线与抛物线的位置关系,直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程 组 解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20
3、解的个数. 当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有 个公共点；若0时，直线与抛物线 公共点. 当k0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.,一,没有,平行或重合,一,题型探究,例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.,类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程,解答,抛物线的对称轴为x轴， 设抛物线的方程为y22px或y22px(p0).,p6. 抛物线的标准方程为y212x或y212x， 其准线方程分别为x3或x3.,引申探究 将本例改为“若抛物线的焦
4、点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.,解答,由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，,所以|AB|2|m|. 因为OAB的面积为4，,用待定系数法求抛物线方程的步骤,反思与感悟,解答,跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交于A，B两点，|AB|2 ，求抛物线方程.,由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2ax(a0). 设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2). 抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x
5、轴对称， 点A与B关于x轴对称，,得x234，x1，,所求抛物线方程是 y23x或y23x.,类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题,例2 (1)过抛物线 y28x的焦点，倾斜角为45的直线被抛物线截得的弦长为_.,由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2，代入y28x得(x2)28x，即x212x40.所以x1x212， 弦长为x1x2p12416.,答案,解析,16,(2) 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.,答案,解析,xy10或xy10,抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)， 若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意，
6、可设所求直线l的方程为yk(x1).,得k2x2(2k24)xk20，,所求直线l的方程为xy10或xy10.,(3)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 |AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_.,抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为 ，又准线方程为x1，因此点M到抛物线准线的距离为 .,答案,解析,反思与感悟,(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为
7、：,(2)已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：,以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.,跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；,解答,若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，,所以|AB|538.,(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|
8、AB|AF|BF|x1 x2 x1x2px1x23， 所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x ， 所以M到准线的距离等于3 .,类型三 抛物线综合问题,命题角度1 与抛物线有关的最值问题 例3 抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，求 的最小值.,解答,抛物线 y24x的准线方程为x1，如图，过点P作PN垂直x1于点N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，,即PAN最小，即PAF最大， 此时，PA为抛物线的切线， 设PA的方程为yk(x1)，,得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1， 所以PAFNPA
9、45，,反思与感悟,(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点. (2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.,跟踪训练3 已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线 y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是,答案,解析,由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线.由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F
10、(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即d 2.,命题角度2 定值或定点问题 例4 抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列. (1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；,证明,设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，,线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，,即t(xx0p)yp0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0p,0).,(2)若|MF|4，|OQ|6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.,解答,由|MF|4，|OQ|6，得x0 4，x0p6，联立解得p4，x02. 抛物线方程为y28x.,反思
11、与感悟,在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.,跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点， 4，求证：直线l必过一定点.,证明,设l：xtyb，代入抛物线y24x， 消去x得y24ty4b0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b. 又 x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2 t2y1y2bt(y1y2)b2y1y2 4bt24bt2b24bb24b， 又 4，b24b4，
12、解得b2，故直线过定点(2,0).,当堂训练,1.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为,答案,解析,所以y28x，所以焦点F的坐标为(2,0)，,1,2,3,4,5,2.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为,答案,解析,抛物线y22x的焦点为F( ，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得
13、出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为 .,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.过抛物线 y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.,答案,解析,8,易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为 3(1)4.由抛物线的定义易得|AB|8.,1,2,3,4,5,4.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.,答案,解析,2,设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 易知过抛物线y22px(p0)的焦点F，,得y22p
14、yp20， y1y22p，y1y2p2.,即(2p)24(p2)32. 又p0，p2.,1,2,3,4,5,5.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK| |AF|，则AFK的面积为_.,1,2,3,4,5,8,答案,解析,易知F(2,0)，K(2,0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|AF|，,1,2,3,4,5,规律与方法,1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便. 2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系. 3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.,本课结束,
