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1、第二章,圆锥曲线与方程,2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程,学习目标 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？,答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一
2、条曲线.,预习导引 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.,差的绝对值,焦点,2.双曲线的标准方程,(0，c),(0，c),a2b2,要点一 求双曲线的标准方程 例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.,解 方法一 若焦点在x轴上，,若焦点在y轴上，设双曲线的方程为,方法二 设双曲线方程为mx2ny21(mn0). P、Q两点在双曲线上，,双曲线经过点(5,2)，,规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用
3、待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法.,要点二 双曲线定义的应用 例2 如图，若F1，F2是双曲线 的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；,(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，,则|16x|6， 解得x10或x22. 故点M到另一个焦点的距离为10 或22.,(
4、2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积. 解 将|PF2|PF1|2a6，两边平方得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， |PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2| 36232100.又|F1F2|2c10， 在F1PF2中，由余弦定理得,由F1PF2是PF1F2的内角， F1PF290，,规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca). (2)在解
5、决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.,跟踪演练2 已知双曲线 的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积.,由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,解 以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平 分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，,
6、规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程. 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.,跟踪演练3 如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.,解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)， 半径r11； 圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24. 设动圆M的半径为R， 则有|MF1|R1，|MF2|R4，,|MF2
7、|MF1|310|F1F2|. 点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，,1,2,3,4,解析 由题意知34n2n216， 2n218，n29.n3.,B,2.若k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断.,k1，k210,1k0. 已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.,答案 C,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,答案 D,1,2,3,4,解析 根据双曲线的定义可得.,D,课堂小结 1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a (0b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.,3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论后再用待定系数法求解或用形如mx2ny21 (mn0)的形式求解.,
