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1、1.3.3 最大值与最小值,第1章 1.3 导数在研究函数中的应用,学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 函数的最大(小)值与导数,观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.,答案,答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,如图为yf(x)，xa，b的图象.,思考2,结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案,答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,
2、思考3,函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？,答案,答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.,(1)最大值与最小值 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有 ，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值.最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值 . 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有 ，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值.最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值 .,梳理,f(x)f(x0),惟一,f(x)f(x0),惟一,(2)求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤 求f(x)在区间(a，b)上的
3、 . 将第步中求得的 与 ， 比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.,极值,极值,f(a),f(b),题型探究,命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 已知函数f(x)x33x，xR. (1)求f(x)的单调区间；,解答,类型一 求函数的最值,解 f(x)3x233(x1)(x1)， 当x1时，f(x)0； 当1x1时，f(x)0， 所以f(x)的单调增区间为(，1)和(1，)，单调减区间为(1,1).,解答,求解函数在固定区间上的最值，需注意 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点
4、函数值的大小，确定最值.,反思与感悟,解析 f(x)2xsin x， 令f(x)0，即2xsin x0，得x0，,答案,解析,(2)已知函数f(x)x3ax23x，若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a时的最值.,解 f(x)3x22ax3， 由题意知，f(3)0，即276a30，解得a5， f(x)3x210x3. 令f(x)0，即3x210x30，,f(3)9，f(1)1，f(5)15， 当x1,5时，f(x)的最小值为9，最大值为15.,解答,命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值.,解答,解 f(x)3x23a3(x2a)
5、. 若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减， 所以当x0时，f(x)有最大值f(0)0；,列表如下.,当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1. 综上，当a0，x0时，f(x)有最大值0；,当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.,对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.,反思与感悟,(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y6x8，求a，b的值；,解答,解 f(x)3ax23x，由f(2)6，得a1. 由切线方程为
6、y6x8，得f(2)4. 又f(2)8a6bb2，所以b2， 所以a1，b2.,(2)若a0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值.,解答,解 f(x)3ax23x3x(ax1).,分以下两种情况讨论：,例3 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为 29，求a，b的值.,类型二 由函数的最值求参数,解答,解 由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾. 求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去). 当a0，且当x变化时，列表如下.,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.
7、,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.,已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,反思与感悟,跟踪训练3 (1)若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,解析 由f(x)33x20，得x1. 列表如下.,又当x(1，)时，f(x)单调递减，且当x2时，f(x)2.a2. 综上，1a2.,(2)已知函数f(x)xln
8、(xa)的最小值为0，其中a0，求a的值.,解 f(x)的定义域为(a，)，,解答,令f(x)0，解得x1aa. 当a1a时，f(x)0，f(x)在(1a，)上单调递增. 因此，f(x)在x1a处取得最小值， 由题意知，f(1a)1a0，故a1.,例4 已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，求a的取值范围.,解答,类型三 与最值有关的恒成立问题,当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增. h(x)minh(1)4， ah(x)min4.,分离参数求解不等式恒成立问题的步骤,反思与感悟,跟踪训练4 设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小
9、值；,解答,解 由题设知f(x)的定义域为(0，)，,令g(x)0，得x1. 当x(0,1)时，g(x)0，,故(1，)是g(x)的单调增区间. 因此，x1是g(x)在(0，)上的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.,解答,即ln a0成立. 由(1)知，g(x)的最小值为1， 所以ln a1，解得0ae.,当堂训练,1.函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是_.,答案,2,3,4,5,1,解析 f(x)3x23.令f(x)0，即3x230，解得x1. 当x(，1)时，f(x)0； 当x(1,1)时，f(x)0； 当x(1，)时，f(x)0.
10、 所以f(x)在x1处取得极大值f(1)3，在x1处取得极小值f(1)1.而端点处的函数值f(3)17，f(0)1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为17.,解析,3，17,2.函数f(x)x2ex1，x2,1的最大值为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 f(x)xex1(x2)， 令f(x)0，得x2或x0. 当f(x)0时，x0； 当f(x)0时，2x0. 当x2时，f(2) ；当x0时，f(0)0； 当x1时，f(1)e2，所以函数的最大值为e2.,e2,3.已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm的值为_.,2,3,4,5,1,答案,解
11、析,32,解析 因为函数f(x)x312x8， 所以f(x)3x212. 令f(x)0，解得x2或x2； 令f(x)0，解得2x2. 故函数在2,2上是减函数，在3，2)，(2,3上是增函数， 所以函数在x2时取到最小值f(2)82488， 在x2时取到最大值f(2)824824. 即M24，m8，所以Mm32.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,5.已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值.,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,解 f(x)6x212x6x(x2). 令f(x)0，得x0或x2. 列表如下.,所
12、以当x2时，f(x)min40a37，所以a3. 所以当x0时，f(x)取到最大值3.,规律与方法,1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：(1)对函数进行准确求导.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论. 2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题.如：(1)f(x)m恒成立，只需f(x)minm成立即可，也可转化为h(x)f(x)m，这样就是求h(x)min0的问题.(2)若在某区间D上恒有f(x)g(x)成立，可转化为h(x)f(x)g(x)，求h(x)min0的问题.,本课结束,
