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1、第二章 2.1 椭圆,2.1.2 椭圆的几何性质(二),1.进一步巩固椭圆的几何性质. 2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 点与椭圆的位置关系,思考1,答案,思考2,答案,知识点二 直线与椭圆的位置关系,思考1,直线与椭圆有几种位置关系？,答案,有三种位置关系，分别是相交、相切、相离.,思考2,如何判断直线y2x1与椭圆4x2y24的位置关系？,答案,4248(3)0， 所以直线y2x1与椭圆4x2y24相交.,知识点三 直线与椭圆的相交弦,思考,若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？,答案,有两种方法：一种方法是联立直线
2、方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得.,(直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率). 其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到.,题型探究,类型一 直线与椭圆的位置关系,答案,直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.,解析,直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程： (1)0直线与椭圆相交有两个公共点. (2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点. (3)
3、0直线与椭圆相离无公共点.,反思与感悟,解答,解答,并整理得4x23mxm270， 9m216(m27)0 m216m4，,本题通过对图形的观察分析，将求最短距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.,反思与感悟,解答,如图，由直线l的方程与椭圆的方程可知，直线l与椭圆不相交.设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x5yk0. ,消去y，得25x28kxk22250. 令
4、方程的根的判别式0， 得64k2425(k2225)0. ,解方程得k125或k225. 由图可知，当k25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x5y250.,类型二 弦长与中点弦问题,解答,(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.,解答,方法一 当直线l的斜率不存在时，不合题意. 所以直线l的斜率存在. 设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4).,消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.,由于AB的中点恰好为P(4,2)，,即x2y80.,由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，,即x2y80.,反思与感悟,处理直
5、线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.,解答,方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差， 得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0. ,直线xy10的斜率k1.,|x2x1|2.,联立ax2by21与xy10，可得(ab)x22bxb10.,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,且直线AB的斜率k1，,类型三 椭圆中的最值(或范围)问题,例4 已知椭圆4x2y21及直线yxm. (1)当直线和椭圆有
6、公共点时，求实数m的取值范围；,解答,因为直线与椭圆有公共点，,(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.,解答,设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知5x22mxm210，,所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.,引申探究 在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程.,解答,反思与感悟,解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是
7、利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.,答案,解析,6,当堂训练,1,2,3,4,5,答案,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x2y30,答案,解析,1,2,3,4,5,解析,设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，,得(12k2)x24kx0，,1,2,3,4,5,化简得k4k220， 所以k21，所以k1. 所以所求直线l的方程是yx1或yx1.,1,2,3,4,5,规律与方法,1.直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.,(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况. 2.解决椭圆中点弦问题的二种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.,本课结束,
