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1、第三章 3.1 空间向量及其运算,3.1.2 空间向量的基本定理,1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法. 2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并 能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 共线向量定理与共面向量定理,1.共线向量定理 两个空间向量a，b ，ab的充要条件是 ，使 . 2.向量共面的条件 (1)向量a平行于平面的定义 已知向量a，作 a，如果a的基线OA ，则就说向量a平行于平面，记作a. (2)共面向量的定义 平行于 的向量，叫做
2、共面向量.,(b0),存在唯一的实数x,axb,平行于平面或在内,同一平面,(3)共面向量定理 如果两个向量a，b ，则向量c与向量a，b共面的充要条件是 _ ，使 .,不共线,存在,唯一的一对实数x，y,cxayb,知识点二 空间向量分解定理,1.空间向量分解定理 如果三个向量a，b，c ，那么对空间任一向量 p，_ ，使 . 2.基底 如果三个向量a，b，c是三个 ，则a，b，c的线性组合 能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个 ，记作 ，其中a，b，c都叫做 .表达式xaybzc，叫做向量a，b，c的 或 .,不共面,存在一个唯一的,有序实数组x，y，z,pxaybzc,不共
3、面的向量,xaybzc,基底, a，b，c ,基向量,线性表示式,线性组合,题型探究,例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E在A1D1上，且 2，F在对角线A1C上， 且 .,证明,类型一 向量共线问题,求证：E，F，B三点共线.,判定向量a，b(b0)共线，只需利用已知条件找到x，使axb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中， 点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量 与 是否共线？,解答,设AC中点为G，连接EG，FG，,类型二 空间向量共面问题,例2 如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面 AC外一点
4、O作射线OA，OB，OC，OD，在四条 射线上分别取点E，F，G，H，并且使 k，求证：E，F，G，H四点共面.,证明,解答,由于四边形ABCD是平行四边形，,由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.,反思与感悟,(1)利用四点共面求参数 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. (2)证明空间向量共面或四点共面的方法 向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面. 若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有 ，且xy
5、z1成立，则P，A，B，C四点共面. 用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.,跟踪训练2 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足 ，判断 三个向量是否共面.,解答,例3 如图所示，在平行六面体ABCDABCD中， a， b， c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量.,类型三 空间向量分解定理及应用,解答,连接AC，AD.,解答,解答,解答,反思与感悟,用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需
6、要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.,跟踪训练3 如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设 a， b， c.试用向量a，b，c表示向量 .,解答,H为OBC的重心，D为BC的中点，,当堂训练,1.对于空间的任意三个向量a，b,2ab，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量,1,2,3,4,5,答案,解析,2ab2a(1)b， 2ab与
7、a，b共面.,1,2,3,4,2.已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，,5,答案,解析,1,2,3,4,5,3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知 2e1ke2， e13e2， 2e1e2，若A，B，D三点共线，则k_.,答案,解析,8,根据共面与共线向量的定义判定，易知正确.,4.以下命题： 两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； 共线的两个向量互相平行； 共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； 共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量. 其中正确命题的序号是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.,方法一,由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面.,方法二,3(1)(1)1，点B与点P，A，M共面，即点P与点A，B，M共面.,解答,1,2,3,4,5,方法一,由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是,点P与点A，B，M 不共面.,方法二,解答,4(1)(1)21， 点P与点A，B，M 不共面.,规律与方法,本课结束,
