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1、第三章 3.3 导数的应用,3.3.2 利用导数研究函数的极值(一),1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值 与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 函数极值的概念,思考1,函数在点xa处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？,函数yf(x)的图象如图所示.,函数在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小.,答案,思考2,f(a)为多少？在点xa附近，函数的导数的符号有什么规律？,答案,f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0.,思考3,函
2、数在点xb处的情况呢？,答案,函数在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.,梳理 已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 . 与 统称为极值. 与 统称为极值点.,极大值,极大值点,极小值,极小值点,极大值,极小值,极大值点,极小值点,知识点二 求函数yf(x)的极值的方法,解方程f(x)0.当f(x0)0时： (1)如果在x0附近的左侧f(x) 0，右侧
3、f(x) 0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f(x) 0，右侧f(x) 0，那么f(x0)是极小值.,题型探究,类型一 求函数的极值和极值点,解答,例1 求下列函数的极值： (1)f(x)2x33x212x1；,函数f(x)2x33x212x1的定义域为R， f(x)6x26x126(x2)(x1)， 解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,所以当x2时，f(x)取极大值21； 当x1时，f(x)取极小值6.,解答,令f(x)0，得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,因此当x1时，f(x)有极
4、小值3，无极大值.,求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f(x). (2)求方程f(x)0的根. (3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图象也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.,反思与感悟,跟踪训练1 已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4. (1)求a，b的值；,因为f(x)ex(axb)aex2x4 ex(axab)2x4， 所以f(0)ab44， 又f(0)b4， 由可得ab4.,解答,(2)讨论f(x)
5、的单调性，并求f(x)的极大值.,解答,f(x)ex(4x4)x24x， f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2) (x2)(4ex2). 解f(x)0，得x12，x2ln 2， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增， 在(2，ln 2)上单调递减. 当x2时，函数f(x)取得极大值， 极大值为f(2)4(1e2).,类型二 已知函数极值求参数,例2 已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值.,解答,因为f(x)在x1时有极值0， 且f(x)3x26axb，,当a1，b3时，f(x)3x26x33(
6、x1)20， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去. 当a2，b9时，,f(x)3x212x93(x1)(x3)， 当x(3，1)时，f(x)为减函数； 当x(1，)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.,引申探究 若本例的条件改为“x3，x1是f(x)x33ax2bxa2的两个极值点”，求常数a，b的值.,解答,反思与感悟,已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,
7、跟踪训练2 已知函数f(x)ax3bx2cx在xx0处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0的值；,解答,由图象可知，在区间(，1)上f(x)0，在区间(1,2)上f(x)0，在区间(2，)上f(x)0. 故f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x1处取得极大值，所以x01.,(2)a，b，c的值.,f(x)3ax22bxc， 由f(1)0，f(2)0，f(1)5，,解答,类型三 函数极值的综合应用,例3 设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；,解答,f(x)3x2
8、6，令f(x)0，,(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.,解答,由(1)的分析知，yf(x)的图象的大致形状及走向如图 所示.,直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)a有三个不同的实根.,反思与感悟,利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.,解答,由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9，,x2x3m， 则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28x
9、m的图象与x轴有三个不同的交点. g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,当堂训练,1,2,3,4,5,1.如图为yf(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是 f(x)在(3,1)上为增函数； x1是f(x)的极小值点； f(x)在(2,4)上为减函数，在(1,2)上是增函数； x2是f(x)的极小值点. A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,当x(3，1)时，f(x)0， 所以f(x)在(3，1)上为减函数，在(1,2)上为增函数，故不正确； x1是f(x)的极小值点，故正确； 当x(2,4)时，f(x)0，f(x)是减
10、函数，故正确； x2是f(x)的极大值点，故不正确.,1,2,3,4,5,由f(x)x240，得x12，x22， 函数f(x)的极大值与极小值的和为f(2)f(2)8.,解析,答案,1,2,3,4,5,因为f(x)3x22ax3， 则f(3)3(3)22a(3)30，所以a5.,3.函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a等于 A.2 B.3 C.4 D.5,答案,解析,1,2,3,4,5,f(x)3x22axa6， 因为f(x)既有极大值又有极小值， 所以(2a)243(a6)0， 解得a6或a3.,4.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范
11、围为 A.12 D.a6,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.,解答,1,2,3,4,5,令f(x)0，解得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,f(x)的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1，).,规律与方法,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.,本课结束,
