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1、现代控制理论考试总结 第零章 绪论 掌握几个概念即“现代控制理论的六大分支” 1. 线性系统理论线性系统理论：线性系统理论通过研究线性系统的状态在输入作用下的运动规律，揭示系统的结构参数结构参数、动态行为动态行为和性能指标间性能指标间的内在 关系。进而从能控性能控性与能观性能观性两个基本概念出发，通过极点配置方法极点配置方法实现系统的状态反馈与状态观测器的设计。 2. 最优控制理论最优控制理论： 最优控制是指在给定的限制条件 （约束条件） 下， 寻求一种使给定的受控系统的性能指标性能指标 （又称为目标函数、 性能泛函、 评价函数等）在一定意义下为最优的控制规律。 1) 庞特里亚金 （Pontr
2、yagin） 的极大 （或极小） 值原理极大 （或极小） 值原理和贝尔曼 （Bellman） 的动态规划法动态规划法是解决最优控制问题的两种最重要的方法。 2) 状态的能控性能控性与能观性能观性是实现系统最优控制的前提。 3. 最优估计理论最优估计理论：也称为最优滤波。即考虑受环境噪声及负载干扰时，系统的不确定性可用概率和统计方法进行描述与处理的特点，在 系统模型已经建立的基础上，利用受随机噪声污染的系统输入与输出的量测数据，通过统计方法统计方法对系统状态作出最优估计。 1) 古典的维纳（维纳（WienerWiener）滤波）滤波和现代的卡尔曼（卡尔曼（KalmanKalman）滤波理论）滤波
3、理论（基于能控和能观性理论）是解决最优估计问题的两种重要方法。 4. 系统辨识理论系统辨识理论：研究系统的状态，首先要建立能正确反映动态系统的输入与输出间基本关系的数学模型，这是对系统进行分析与综合 的前提。 当系统比较复杂无法通过解析方法直接建立模型时， 可在系统试验或运行数据的基础上， 构造出与系统本质特征等价的模型。 1) 参数估计问题 模型结构已确定，仅需确定其参数； 2) 系统辨识问题 模型结构与参数均需确定。 5. 自适应控制自适应控制：是指当被控对象的内部结构与参数及外部环境与扰动存在不确定性时，系统自身能在线量测和处理信息，随时辨识系统 的模型并按所得模型相应修改控制器的结构与
4、参数，调整最优控制规律以保持系统所要求的最佳性能。 1) 模型参考自适应控制模型参考自适应控制与自校正控制自校正控制是自适应控制领域较为成熟的两大基本类型。 6. 非线性系统理论非线性系统理论：主要研究非线性系统的状态的运动规律及改变这些规律的可能性与实现方法，建立并揭示系统的结构、参数、行为 和性能间的关系。 1) 主要内容包括系统的能控性与能观性、系统的稳定性、系统的线性化、系统的解耦及其反馈控制、系统状态估计等等。 （以上线性系统理论和最优控制理论是本次考试的主要内容） 第一大部分：线性系统理论第一大部分：线性系统理论 第一章 线性控制系统的状态空间描述 1. 状态方程状态方程和输出方程
5、输出方程共同构成可以完整、准确地描述系统的全部动力学特性的状态空间描述。 （ ） 2. 线性系统，其状态空间描述可表示为： 其中， A(t)系统矩阵系统内部状态变量之间的联系； B(t)控制矩阵 输入变量如何控制状态变量； C(t)观测矩阵/输出矩阵 输出变量如何反映状态变量； D(t)直接传递矩阵 输入对输出的直接作用； 并且 A、B、C、D 四个矩阵均不依赖 x 和 u 图 1.状态空间矩阵结构图 【考点掌握： ，要求要求：根据题目中的系统图写出状态空间描述的矩阵形式】 3. 高阶微分方程来描述（时域时域） ： 传递函数来描述（频域频域） ： 4. 如何将一般时域时域描述转化为状态空间描述
6、 1) 不包含输入函数导数不包含输入函数导数形容： 结论结论：可将上述形容的方程组改写为向量形式 令 则状态方程状态方程：；输出方程输出方程： ( )(1)( )(1) 101 nnnn nn ya ya yb ubub u (1) 01 1 1 ( ) ( ) ( ) nn n nn n b sbsbY s G s U ssa sa 12 T n xxxx 11 22 110 01000 00100 00010 nn nn xx xx u xx aaab 1 2 100 n x x y x ( , , ) ( , , ) t t xf x u yg x u tt tt x = A( )x+B
7、( )u y =C( )x+D( )u dt y C(t) A(t) B(t) + +- - X X X D(t) u u ( )(1) 10 nn n ya ya yb u 2) 包含输入函数导数包含输入函数导数形容： 结论结论：可将上述形容的方程组改写为向量形式 状态方程状态方程： ；输出方程输出方程： 其中其中, , 【考点掌握： ，要求：要求：会运用以上两个结论答题即可，重点掌握结论 1 的应用】 5. 如何将频域频域描述转化为状态空间描述 1) 系统传递函数的特征多项式的根为两两相异两两相异 当系统传递函数 G(S)的特征根1、2为两两相异时,展开为部分分式的形式: 矩阵形式为： ，
8、其中 即： ， ， ， 2) 系统传递函数的特征多项式的根有重根有重根时 有一个重根,重数为 r,其余为两两相异的根， 矩阵形式： ，其中 3) 同时有单极点和多个重极点 综上所述，可得如下形式： 【考点掌握： ，要求：要求：会运用以上两个 1,2 结论答题即可】 7. 特征值及其不变性特征值及其不变性： 不变性证明过程： 1) 线性定常系统系统的特征值特征值，即系统矩阵A的特征值， 即特征方程的根； 2) 对系统做非奇异变换非奇异变换，其特征值不变特征值不变。 DuCxy BuAx x 0)det( AI ( )(1)( )(1) 101 nnnn nn ya ya yb ubub u 11
9、1 222 11 0100 0010 0001 nnn nn xx xx u xx aaa 1 2 0 100 n x x yu x 00 1110 221120 11110 1 n nnnnnnkn k k b ba baa baaaba 12 12 ( ) ( ) ( ) n n kkkY s G s U ssss 1 2 12 1 1 1 n n xxu ykkkx lim() ( ) i ii s ksG s xAxBu yCx 1 2 n A 1 1 1 B 12n Ckkk 111211 1 11 11 ( ) ( ) ( ) nrr rr rn kkkkkY s G s U ss
10、ss ss 111 221 1 1 111 111211 10 100 1 1 1 0 1 rr rrr nnn rrn xx xx uxx xx xx ykkkkk x 1 1 11 1 1 lim()( ) (1)! j r j j s d ksG s jds 11 1 11 2 22 1 11 1 11 0 1 1 1 01 mm k kk k kk k lk l k k mn ln l nn k m xx xx xx xx xx xx xx 1 11,11,1, 1 1 1 0 1 0 1 m kkklk mk m l u ykkkkkk x 1 11 1 1 det()det() d
11、et() det() det()det()det( ) det() IAIP AP P PP AP PIA P PIAP IA 3) 设 A 特征值，非零 n 维向量 ，则称为 A 的属于的特征向量，并且特征向量线性无关线性无关，也因此由这些特征向量组成由这些特征向量组成 的矩阵的矩阵 P P 必为非奇异必为非奇异。 8.8. 如何将状态方程化为对角线标准型对角线标准型 1)1) 矩阵矩阵A A为任意形式为任意形式 定理定理：对于线性定常系统 若其特征值 为两两相异，则必有非奇异阵非奇异阵 ，可将矩阵A 化为对角线标准型,其中 为矩阵A 相应于 的特征向量； 即变换： 【考点掌握： ，要求：要求：做题难点是如何求矩阵 P,具体步骤如下： 通过 求出特征值， 通过 利用待定系数法求出， 然后 ， 再计算 ， 最后按 ， 计算即可 】 2)2) 矩阵矩阵 A A 为相伴型为相伴型 前提是 A 为相伴型，即形容 ，又称 A 为友矩阵； 那么矩阵 A 的特征值两两互异时， P 可取范德蒙矩阵范德蒙矩阵 ， 为矩阵A的互异特征值。 9.9. 如何将状态方程化为约当标准型约当标准型 1) 区别：仍存在 n 个线性无关的特征向量（化为对角型化为对角型）&线性无关的特征向量个数小于 n（化为约当标准型化为约当标准型） 2) 定理定理：设矩阵A有q个重特征值为1，而其余n-q
