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1、章末复习课,第三章 数系的扩充与复数,学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义. 2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的 和 .若 ，则abi为实数，若 ，则abi为虚数，若 ，则abi为纯虚数. (2)复数相等：abicdi (a，b，c，dR). (3)共轭复数：abi与cdi共轭 (a，b，c，dR).,实部,b0,虚部,ac且bd,b0,a0且b0,ac且bd0,(4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.在复
2、平面内 叫做实轴， 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各象限内的点都表示非纯虚数. (5)复数的模,x轴,y轴,实数,纯虚数,|z|,|abi|,2.复数的几何意义,3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi) ； 减法：z1z2(abi)(cdi) ；,(ac)(bd)i,(ac)(bd)i,乘法：z1z2(abi)(cdi) ；,(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1z2 ，(z1z2)z3 . 4.共轭复数的性质 (1
3、)z . (2) .,(acbd)(adbc)i,z2z1,z1(z2z3),R,z,(3)任一实数的共轭复数仍是 ；反之，若z ，则z是 . (4)共轭复数对应的点关于 对称.,实数,它本身,实轴,题型探究,类型一 复数的概念,例1 已知复数za2a6 i，分别求出满足下列条件的实数a的值： (1)z是实数；,解答,解 由a2a60，解得a2或a3. 由a22a150，解得a5或a3. 由a240，解得a2. 由a22a150且a240， 得a5或a3， 当a5或a3时，z为实数.,(2)z是虚数；,解答,解 由a22a150且a240， 得a5且a3且a2， 当a5且a3且a2时，z是虚数
4、.,(3)z是0.,解 由a2a60，且a22a150，得a3， 当a3时，z0.,引申探究 例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.,解答,解 由a2a60，且a22a150， 且a240，得a无解， 不存在实数a，使z为纯虚数.,(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.,反思与感悟,跟踪训练1 复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR；,解答,解 因为一个复数是实数的充要条件是
5、虚部为0，,解得x4，所以当x4时，zR.,(2)z为虚数.,解答,解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，,类型二 复数的四则运算,解答,例2 (1)计算：,i(i)1 00601i.,解答,(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(abi)(cdi)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化. (2)虚数单位i的周期性 i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)； inin1in2in30(nN).,反思与感悟,解答,类型三 复数问题实数化思想,解答,解 设zabi(a，bR)，,z22i.,|zz1|zz2|，即|a2bi|a(b2)i|，,z22i或z22
6、i.,设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路.,反思与感悟,解答,解 设zabi(a，bR)， z3ia(b3)i为实数，可得b3.,a1，即z13i.,解答,类型四 复数的几何意义,例4 设复数z满足|z|1，求|z(34i)|的最值.,解答,解 由复数的几何意义知，|z|1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z(34i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值.,|z(34i)|min|BC|OC|14.,复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的
7、平行四边形法则和三角形法则：|z1z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离.,反思与感悟,解答,跟踪训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i， z2cos2icos 2，其中(0，)，设 对应的复数为z. (1)求复数z；,解 由题意得zz2z1cos2sin2(cos 21)i12sin2i.,解答,解 由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2).,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,1.复数z (aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于 A.2 B.1 C.1 D.2,所以2a0，即a2.,2.已知复数z1 ，则1zz2z2 014等于 A.1i B
8、.1i C.i D.1,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 由条件知2ai，bi是共轭复数， 则a1，b2， 即实系数一元二次方程x2pxq0的两个根是2i， 所以p(2i)(2i)4，q(2i)(2i)5.,3.已知2ai，bi是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，则p，q的值为 A.p4，q5 B.p4，q5 C.p4，q5 D.p4，q5,4.若|z1|2，则|z3i1|的最小值为_.,解析,答案,解析 因为|z1|2， 所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上. |z3i1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，
9、因此，距离的最小值为1.,2,3,4,5,1,1,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,解 设zabi(a，bR).,2,3,4,5,1,规律与方法,1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念. 2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成abi(a，bR)的结构形式. 3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.,本课结束,
