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1、第3章 导数及其应用,习题课 导数的应用,1.能利用导数研究函数的单调性. 2.理解函数的极值、最值与导数的关系. 3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 函数的单调性与其导数的关系,定义在区间(a，b)内的函数yf(x),增,减,解方程f(x)0，当f(x0)0时， (1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值 (2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值,知识点二 求函数 yf(x)的极值的方法,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,1.求函数yf(x)在(a，b)内的极值.
2、 2.将函数yf(x)的 与端点处的函数值 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值.,知识点三 函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法,极值,f(a)，f(b),最大,最小,题型探究,类型一 数形结合思想的应用,例1 已知f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是_.,答案,解析,解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意： (1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的. (2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点.,反思与感悟,跟踪
3、训练1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是_.,答案,解析,函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)， 且函数f(x)在x2处取得极小值， 当x2时，f(x)0； 当x2时，f(x)0； 当x0. 由此观察四个选项，故符合.,类型二 构造函数求解,命题角度1 比较函数值的大小,bca,答案,解析,令g(x)xf(x)， 则g(x)(x)f(x)xf(x)， g(x)是偶函数.g(x)f(x)xf(x)，,当x0时，xf(x)f(x)0. g(x)在(0，)上是减函数.,g(x)是偶函数，,反思与感悟,本例中根据条件构
4、造函数g(x)xf(x)，通过g(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数.,abc,答案,解析,令g(x)0，解得xe， g(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减， 而543e， g(5)g(4)g(3)，,命题角度2 求解不等式,(0，),例3 定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)，满足f(x)2ex的解集为_.,答案,解析,f(x)0，即函数g(x)单调递增. f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)g(0). 函数g(x)单调递增， x0，不等式的解集为(0，).,反思与感悟,跟踪训练3 设函数f(x)是定义在R上的偶
5、函数，f(x)为其导函数.当x0时，f(x)xf(x)0，且f(1)0，则不等式xf(x)0的解集为_.,(1，),答案,解析,令g(x)xf(x). 当x0时，g(x)(xf(x)f(x)xf(x)0， g(x)在(0，)上单调递增. 又f(x)是偶函数，即f(x)f(x)， 则g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)， g(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增. f(1)0，则g(1)1f(1)0， 由xf(x)0，即g(x)g(1)，得x1， xf(x)0的解集为(1，).,命题角度3 利用导数证明不等式,例4 已知x1，证明不等式x1ln x.,证明,设f(x)x1ln x，x(1，)
6、，,即函数f(x)在(1，)上是增函数， 又x1，所以f(x)f(1)11ln 10， 即x1ln x0，所以x1ln x.,反思与感悟,利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将不等式构造成f(x)0(或0)的形式； (2)利用导数将函数yf(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出； (3)证明函数yf(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立.,跟踪训练4 证明：当x0时，22x2ex.,证明,设f(x)22x2ex， 则f(x)22ex2(1ex). 当x0时，exe01， f(x)2(1ex)0时，22x2ex0， 22x2ex.,类型三 利用导数研究函数的极
7、值与最值,例4 已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行. (1)求函数f(x)的解析式；,解答,因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3. 又函数过(1,0)点，即2b0，b2. 所以a3，b2，f(x)x33x22.,(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；,解答,由f(x)x33x22，得f(x)3x26x. 由f(x)0，得x0或x2. 当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t
8、22. 当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,f(x)minf(2)2， f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. 因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0， 所以f(x)maxf(0)2.,(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.,解答,令g(x)f(x)cx33x22c， 则g(x)3x26x3x(x2). 当x1,2)时，g(x)0. 要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，,即实数c的取值范围为(2,0.,反思与感悟,(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确
9、定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.,跟踪训练5 已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称. (1)求a，b的值；,解答,函数f(x)的图象关于原点成中心对称， 则f(x)是奇函数， f(x)f(x)， 即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb， 于是2(a1)x22b0恒成立，,(2)求f(x)的单调区间及极值；,由(1)得f(x)x348x， f(x)3x2483(x
10、4)(x4)， 令f(x)0，得x14，x24；令f(x)0，得x4. f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，)， f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.,解答,(3)当x1,5时，求函数的最值.,由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，则f(4)128，f(1)47，f(5)115，函数的最大值为47，最小值为128.,解答,当堂训练,1,2,3,4,5,1.如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：,函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增； 当x2时，函数yf(x)有极小值；,则上述判断中正确的是_.(填序号),答案
11、,解析,1,2,3,4,5,由导函数的图象知， 当x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递增； 当x(2,4)时，f(x)0，f(x)单调递增； 当x2时，f(x)取极小值； 当x2时，f(x)取极大值； 当x4时，f(x)取极小值. 所以只有正确.,1,2,3,4,5,f(x)6x212x6x(x2)， f(x)在x0,2上单调递减，在2,0上单调递增， f(x)的最大值为f(0)m3， f(x)的最小值为f(2)1624337.,2.已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，则此函数在2,2上的最小值为_.,答案,解析,37,1,2,3,4,5,3.已知函数f(x) 在(
12、2，)内单调递减，则实数a的取值范围为 _.,答案,解析,1,2,3,4,5,由函数f(x)在(2，)内单调递减， 知f(x)0在(2，)内恒成立，,1,2,3,4,5,4.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)f(b)g(b)； f(x)g(a)f(a)g(x)； f(x)g(b)f(b)g(x)； f(x)g(x)f(a)g(a).,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,证明,设f(x)xsin x(x0)，则f(x)1cos x0对x(0，) 恒成立， 函数f(x)xsin x在(0，)上是单调增函数， 又f(0)0， f(x)0对x(0，)恒成立， xsin x(x0).,5.已知x0，求证：xsin x.,规律与方法,导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,本课结束,
