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1、习题课 导数的应用,第一章 导数及其应用,学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性. 2.理解函数的极值、最值与导数的关系. 3.掌握函数的单调性、极值与最值综合应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 函数的单调性与其导数的关系,定义在区间(a，b)内的函数yf(x)：,增,减,知识点二 求函数yf(x)的极值的方法,(1)求导数f(x)； (2)求方程 的所有实数根； (3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f(x)的符号变化.如果f(x)的符号 ，则f(x0)是极大值；如果 ，则f(x0)是极小值，如果在f(x)0的根xx0的左、右侧，f(x)的符号不变，则
2、f(x0) .,由正变负,由负变正,f(x)0,不是极值,题型探究,类型一 构造法的应用,命题角度1 比较函数值的大小,答案,解析,解析 由f(x)sin xf(x)cos x， 即f(x)sin xf(x)cos x0，,此类题目的关键是构造出恰当的函数，求出该函数的导数，利用单调性进而确定函数值的大小.,反思与感悟,A.acb B.bca C.abc D.cab,解析,答案,解析 令g(x)xf(x)， 则g(x)xf(x)xf(x)， g(x)是偶函数. g(x)f(x)xf(x)，,当x0时，xf(x)f(x)0. g(x)在(0，)上是减函数.,g(x)是偶函数，,例2 定义域为R的
3、可导函数yf(x)的导函数f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)2，则不等式f(x)2ex的解集为 A.(，0) B.(，2) C.(0，) D.(2，),命题角度2 求解不等式,解析,答案,f(x)f(x)，g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选C.,构造恰当的函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且f(1)0，其导函数记为f(x)，当x0时，满足xf(x)f(x)0，则f(x)0的解集为_.,(1,0)(1，),解析,答案,当x0时，g(x)0，则g(x)为增函数， 由此可画出g(x)的草图，如图， 所以f(x)
4、0的解集为(1,0)(1，).,类型二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值,解答,例3 已知f(x)axln x，x(0，e，g(x) ，其中e是自然对数的底数，aR. (1)当a1时，求函数f(x)的单调区间和极值；,所以当00， 此时函数f(x)为单调增函数， 所以函数f(x)的极小值为f(1)1.,证明,(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x) ；,证明 因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0，e上的最小值为1.,所以当00， 此时g(x)为单调增函数.,解答,(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.,解 假设存在实数a
5、，使f(x)axln x，x(0，e有最小值3，,当a0时，f(x)0，f(x)在(0，e上为单调减函数，,此时函数f(x)的最小值不是3.,此时函数f(x)的最小值不是3. 综上可知，存在实数ae2，使f(x)的最小值是3.,(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.,反思与感悟,跟踪训练3 已知函数f(x) aln x(a0，aR). (1)若a1，求函数f(x)的极
6、值和单调区间；,解答,令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,当x1时，f(x)的极小值为1. f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1).,(2)若在区间(0，e上至少存在一点x0，使得f(x0)0成立，求实数a的取值范围.,解答,若在区间(0，e上存在一点x0，使得f(x0)0成立， 其充要条件是f(x)在区间(0，e上的最小值小于0.,f(x)在区间(0，e上单调递减，,f(x)在区间(0，e上单调递减，,显然，f(x)在区间(0，e上的最小值小于0不成立.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,得1
7、ln ae，即a(e，).,类型三 导数的综合应用,例4 已知函数f(x)excxc(c为常数，e是自然对数的底数)，f(x)是函数yf(x)的导函数. (1)求函数f(x)的单调区间；,解答,解 函数f(x)excxc的导数为f(x)exc， 当c0时，f(x)0恒成立，可得f(x)的增区间为R； 当c0时，由f(x)0，可得xln c， 由f(x)0，可得xln c. 可得f(x)的增区间为(ln c，)，减区间为(，ln c).,(2)当c1时，试求证： 对任意的x0，不等式f(ln cx)f(ln cx)恒成立；,证明,证明 f(ln cx)f(ln cx)eln cxc(ln cx)
8、celn cxc(ln cx)cc(exex2x)， 设g(x)exex2x，x0， 则g(x)exex2，,即g(x)0， 所以g(x)在(0，)上为单调增函数， 可得g(x)g(0)0， 又c1，则c(exex2x)0， 可得不等式f(ln cx)f(ln cx)恒成立.,函数yf(x)有两个相异的零点.,证明,证明 函数f(x)excxc的导数为f(x)exc，当c1时，f(x)的增区间为(ln c，)；减区间为(，ln c)， 可得f(x)在xln c处取得极小值，且为最小值， 由f(ln c)eln ccln ccccln cccln c0， 可得f(x)0有两个不等的实根， 则函数
9、yf(x)有两个相异的零点.,利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时，注意运用构造函数和转化思想.,反思与感悟,跟踪训练4 已知函数f(x)axln x1，若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线与直线2xy10垂直. (1)求a的值；,解答,解 函数f(x)的定义域为(0，).,解答,(2)函数g(x)f(x)m(x1)(mR)恰有两个零点x1，x2(x1x2)，求函数g(x)的单调区间及实数m的取值范围.,解 因为g(x)(1m)(x1)ln x，x(0，)，,()当1m0即m1时，g(x)0， 所以g(x)在(0，)上为单调减函数， 此时只存在一个零点，不合题意.,下面判断
10、极小值的正负，设h(m)mln(1m)，m1. 当m0时，h(0)0，即g(x)极小值0， 此时g(x)恰有一个零点不合题意.,当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：,当m0； 当0m1时，h(m)0. 所以h(m)在(，0)上为单调增函数，在(0,1)上为单调减函数， 所以h(m)h(0)0，此时g(x)恰有两个零点， 综上，m的取值范围是(，0)(0,1).,当堂训练,1.若函数yx32x2mx是R上的单调函数，则实数m的取值范围是,答案,2,3,4,5,1,2.已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有 A.bf
11、(b)af(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a),答案,2,3,4,5,1,解析,解析 设g(x)xf(x)，x(0，)， 则g(x)xf(x)f(x)0， g(x)在区间(0，)上为单调减函数或g(x)为常函数. ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b).故选A.,2,3,4,5,1,答案,解析,3.函数f(x)的定义域为R，f(1)1，对任意的xR，f(x)3，则f(x)3x4的解集为_.,(1，),解析 设F(x)f(x)(3x4)， 则F(1)f(1)(34)110. 又对任意的xR，f(x)3， F(x)f(x)30， F(x)在R
12、上是增函数， F(x)0的解集是(1，)， 即f(x)3x4的解集为(1，).,4.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则f(0)f(2)与2f(1)的大小关系为_.,解析,答案,解析 当x1时，f(x)0， 故f(1)0.由f(x)的任意性知，f(x)在0,2上有唯一的极小值f(1)， 即f(0)f(1)，f(2)f(1)， 所以f(0)f(2)2f(1).,2,3,4,5,1,f(0)f(2)2f(1),2,3,4,5,1,证明,5.已知x0，求证：xsin x.,证明 设f(x)xsin x(x0)，f(x)1cos x0 对x(0，)恒成立， 函数f(x)xsin x在(0，)上是单调增函数. 又f(0)0， f(x)0对x(0，)恒成立， xsin x(x0).,规律与方法,导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,本课结束,
