《微分方程数值解法(戴嘉尊 第二版)习题讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程数值解法(戴嘉尊 第二版)习题讲解（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 微分方程数值解 习题解答 杨韧 吴世良(编) 杨韧 吴世良(编) 成都信息工程学院 数学学院 成都信息工程学院 数学学院 二 O 一 O 年四月编写 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 目 录目 录 第一章第一章 常微分方程数值解常微分方程数值解3 第二章第二章 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法8 第三章第三章 椭圆型方程的差分方法椭圆型方程的差分方法16 第四章第四章 双曲型方程的差分方法双曲型方程的差分方法25 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴
2、世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 第一章第一章 常微分方程数值解常微分方程数值解 1解: 由欧拉公式得 22 22 0.11 1 11 (,)(2)0.2 nn nnnnnnnn xx yyhf xyyhyyy + + =+=+=+ 由梯形公式得 22 1 22 1 1 112 22 111 12 11 22 111 12 11 (,)(,) (2)(2) () nn nn nnnnnn nn xx nnn xx yyh f xyf xy yhyy yhyhyh + + + + + + + 1 n + =+ =+ =+ 22 1 22 111 112 11 (
3、) nn nnnn xx hyyyhyh + + + +=+ 22 1 2 111 2 11 1 114 () 2 nn nn xx n h yhyh y h + + + + = 欧拉公式计算结果 n x n y () n y x () nn y xy 0 0 0 0 0.1 0.1000 0.0990 0.0010 0.2 0.1970 0.1923 0.0047 0.3 0.2854 0.2752 0.0102 0.4 0.3609 0.3448 0.0160 0.5 0.4210 0.4000 0.0210 0.6 0.4656 0.4412 0.0244 0.7 0.4957 0.46
4、98 0.0259 0.8 0.5137 0.4878 0.0259 0.9 0.5219 0.4972 0.0247 1 0.5227 0.5000 0.0227 梯形公式计算结果 n x n y () n y x () nn y xy 0 0 0 0 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 0.1 0.0985 0.0990 0.4758*1.0e-3 0.2 0.1915 0.1923 0.8291*1.0e-3 0.3 0.2742 0.2752 0.9894*1.0e-3 0.4 0.3439 0.3448
5、 0.9580*1.0e-3 0.5 0.3992 0.4000 0.7886*1.0e-3 0.6 0.4406 0.4412 0.5523*1.0e-3 0.7 0.4695 0.4698 0.3097*1.0e-3 0.8 0.4877 0.4878 0.0988*1.0e-3 0.9 0.4973 0.4972 0.0640*1.0e-3 1 0.5002 0.5000 0.1773*1.0e-3 2解：解：显然，是原初值问题的准确解。 x ey = 由梯形公式得 11 1 (,)(,) 2 () 2 nnnnnn nnn h yyf xyf xy h yyy + + =+ =+ 1+
6、 整理可得: 1 2 2 nn h yy h + = + 于是： 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ) )2 2 ( + + + = + = + = + = nn nnn h h y h h y h h y h h y? 亦即： n n h h y + = 2 2 因为0xnhnh=+=， x n h =，令 h h t + = 2 2 ， 2 111 = th 有 22 2 1(1)(1)(1 2 x xxx ) x h tt n h ytt h t =+=+ + 从而 2 000 limlim(1)lim(1) xx x t n htt ytt e =+= 同理可以证明预报-
7、校正法收敛到微分方程的解. 3解: 局部截断误差: 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 1 1 1 1 1 111 11 11 11 1 111 () ()( , ( )()(, () ( , ( )(, () ( , ( )(, () ( )() ()() n n n n n n n n n n nnn x nnnn x x nn x x nn x x n x x nnn x Ry xy y xf x y x dxy xhf xy x f x y x dxhf xy x f x y xf xy xdx y xy
8、 xdx y xxxxxdx + + + + + + + + + + + = =+ = = = =+ 1 1111 2 11 (01) lagrange ()()() () n n x nnnnn x nn y xxxxxdxxxx h y xxx + + 1 +2 精品课程微分方程数值解 1 1 1 1122 2222 22 2222 ()( , ( )(, ()(,) ( , ( )(, ()(, () (, ()(,) ( )() (, ()(, ( n n n n n n x hh nnnnnn x x hhhh nnnn x hh nnnn x hhhh nnn x y xyf x
9、y xf xy xf xydx f x y xf xy xf xy x f xy xf xydx y xy xf xy xf xy + + + + =+ =+ + =+ 2 )(,) h nnn xf xydx+ 所以上式为 1 1 12 2222 ()() (, ()(, ()(,) n n n n x h nnn x x hhhh nnnnnn x ey xxxdx f xy xf xy xf xy + + + =+ + dx 2 3 18 () h nn eLh y xLM + +h 中点公式的整体截断误差： 1 1 111 22 22 2222 () ()( , ( )(,(,) ()
10、 ( , ( )(, ()(, () (, ()(, ()(,(,) n n n n nnn x hh nnnnnn x x hh nnnnnn x hhhh nnnnnnnn y xy y xyf x y xf xyf xydx y xyf x y xf xy xf xy x f xy xf xy xf xyf xydx + + + = =+ =+ + 记 1 2222 (, ()(, ()(,(,) n n x hhhh nnnnnnnn x Ff xy xf xy xf xyf xy + =+ dx 注这里f满足Lipschitz条件, 所以有 22 22 2 2 | ()(, ()(,
11、)| | ()|(, ()(,)| (| ()| (1)| hh nnnnnn hh nnnnnn h nnn h n FLh y xf xy xyf xy Lh y xyf xy xf xy LhL y xy LhL + + + + 综上有: 12 | |(1)| h nn RLhL| n + +， 即有 22 1 2 00 22 1 12 2222221 11 022 ()() 0 | (1)| (1) |1 (1)(1) |(1) nn nn R hLL h L XxL Xx LhL hR LhL hLhL hLhL h R ee Lh + + + ? 1 2 11、解： 电子文档制作：
12、成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 11、解：令f(x,y)=-y+x+1 1 . 09 . 0) 1()1 () 1( 1 +=+=+= + x y x y x yyy n n n n n nnn hhh (n=0,1,2,9) )1(1 2 1 11 += + + x y x yyy n n n nnn h =(1- 2 h ) 2 ) 1( 2 hh x y n n +(-1 1 1 + + + x y n n ) =0.95) 1(05. 0) 1(05. 0 1 1 + + + x y x y n n n n 由初值
13、y(0)=1出发，按上述公式计算，结果如下表所示： xn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 yn 1 1.005 1.0190251.041217 1.0708011.1070751.1494031.197210 1.249975 1.3072271.368541 12、计算结果与精确解比较。 解：由标准四阶P-K方程可得： += += += += += + kyxk kyxk kyxk yxk kkkkyy n n n n n n n n nn 34 23 12 1 4321 1 2 . 02 . 0 1 . 01 . 0 1 . 0 2 2 .
14、 0 )22( 6 2 . 0 计算求解得： n 0 1 2 3 4 5 xn 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 精确解 y(xn) 1 1.242806 1.583649 2.044238 2.651082 3.436564 P-K 解 yn 1 1.242806 1.583649 2.044238 2.651082 3.436564 误差误差 0 10 6 1.310 5 2.510 5 410 5 6.210 5 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 第二章第二章 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法 1解:由 1 11 0 0 (1 2 )()1,2,.,1 sin()0,1,. 01,2,. nnnn mmmm m nn M Ur Ur UUmM UmhmM UUn + + =+= = = 2 1 0.1,0.1,0.001,10 k hrkM hh = 得古典显式差分格式 1 11 0 0 0.80.1() sin(0.1)0,1,.10 01,2,. nnnn mmmm m nn M UUUU Umm UUn + + =+ = = U x t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 1 0 0.3090 0.5876 0.8090
