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1、2018/12/7,第二章 方差分析方法,目 录 一、试验数据构造模型 二、正交试验的方差分析法 三、有重复试验的方差分析 四、缺落数据的弥补,一、试验数据构造模型,（一）单因素试验方差分析的数学模型 1、数学模型,试验误差对每一次试验来说是一个不确定的量（数学上称为随机变量）。但在多次试验中它式有一定规律的。,真实值,处理效应,该数学模型的意义是：某因数在不同水平下，实验结果由（2-1-3）式中的三部分组成。,2、参数估计,试验设计的关键：是把水平效应和实验误差分开，估计它们的值，并进行显著性检验。,例21 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同的温度，同一温度做了三次试验，结果如下
2、：,水平,因素,指标,对其它数据也进行类似分解 ，通过对数据的分解，可以看到分组因素（温度）影响的大小和试验误差的大小。（见39页表2-2）,3、统计检验,表2-3 单因素多水平重复试验的方差分析表,（二）正交试验方差分析的数学模型,1、数学模型 根据一般线性模型的假定，若9次试验结果(如p1例1-1中的转化率)以x1、x2,x表示,我们首先假定： (1)三个因素间没有交互作用。 (2)为9个数据可分解为: x1=+a1+b1+c1+1 x2=+a1+b2+c2+2 x3=+a1+b3+c3+3 x4=+a2+b1+c2+4 x5=+a2+b+c3+5,x6=+a2+b3+c1+6 x7=+a
3、3+b1+c3+7 x8=+a3+b2+c1+8 x9=+a+b+c+9 其中:一般平均;估计 =1/9xi=1/9（x1+x2+ +x9）叫全部数据的总体平均值。 a1、a2、a3表示A在不同水平时的效应。 b1、b2、b3表示B在不同水平时的效应。 c1、c2、c3表示C在不同水平时的效应。 (3)各因素的效应为零,或者,各因素的效应的加和为零 ai=0 bi=0 ci=0,(4) i是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布N(0,1),所以多个试验误差的平均值近似等于零。 2、参数估计 有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作出估计。 由数理统计知识,二、 正交试验的方
4、差分析法,（一）方差分析的必要性 极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点，可采用方差分析的方法。 方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方法。 所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变差平方和进行分解，然后进行统计检验的一种数学方法。,（二）单因素方差分析法 （以例21为例）,方差分析法的基本思路： （1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差平方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表示； （2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一定意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素水
5、平的变化对指标影响不大；如两者相差较大，组间变差平方和比组内变差平方和大得多，说明因素水平的变化影响很大，不可忽视； （3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向。,（三）正交试验的方差分析,A温度（）1 B时间（Min）2 C用碱量（x%）3 4 转化率（x%） 1 1(80) 1(90Min) 1(5%) 1 31 2 1(80) 2(120Min) 2(6%) 2 54 3 1(80) 3(150Min) 3(7%) 3 38 4 2(85) 1(90Min) 2(6%) 3 53 5 2(85) 2(120Min) 3(7%) 1 49 6 2(85) 3(150Min) 1(5%) 2
6、 42 7 3(90) 1(90Min) 3(7%) 2 57 8 3(90) 2(120Min) 1(5%) 3 62 9 3(90) 3(150Min) 2(6%) 1 64,列号,试验号,1、无交互作用情况（以例11为例）,A温度（）1 B时间（Min）2 C用碱量（x%）3 4 转化率（x%） 1 1(80) 1(90Min) 1(5%) 1 31 2 1(80) 2(120Min) 2(6%) 2 54 3 1(80) 3(150Min) 3(7%) 3 38 4 2(85) 1(90Min) 2(6%) 3 53 5 2(85) 2(120Min) 3(7%) 1 49 6 2(8
7、5) 3(150Min) 1(5%) 2 42 7 3(90) 1(90Min) 3(7%) 2 57 8 3(90) 2(120Min) 1(5%) 3 62 9 3(90) 3(150Min) 2(6%) 1 64 K1 123 141 135 144 K2 144 165 171 153 K3 183 144 144 153 Qi 23118 22614 22734 22518 Si 618 114 234 18,列号,试验号,（1）总平方和等于各列的平方和,方差分析表,4列平方和刚好等于总平方和： S总=SA+SB+SC+Se,2、有交互作用的正交试验的方差分析,当任意两因素之间(如A
8、与B）存在交互作用而且显著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。 例22某分析试验，起测定值受A、B、C三种因素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排结果如表（试验指标要求越小越好）,因素,试验号,1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 Qi Si,A 1,B 1,AB 3,C 4,BC 6,误差 7,试验指标 （经简化后）,AC 5,1 1 1 1 2 2 2 2 -5 0 6.25 3.125,1 1 2 2 1 1 2 2 +10 -15 81.25 78.125,1 1 2 2
9、 2 2 1 1 0 -5 6.25 3.125,1 2 1 2 1 2 1 2 -40 35 706.25 703.125,2 1 2 1 2 1 2 1 20 -25 256.25 253.15,1 2 2 1 1 2 2 1 -5 0 6.25 3.125,1 2 2 1 2 1 1 2 5 -10 31.25 28.125,0 5 -10 0 -5 20 -15 10,正交试验结果计算表,* * *,结果表明：B、C、AC对试验结果影响最大，B可取B2，而A和C见存在显著的交互作用，可通过二元表和二元图来确定其最优水平。,由图可知，A2C1最好,故最佳试验条件为A2B2C1，这正好是第
10、7号试验。事实上，从试验结果看，它的效果也最好。,说明： 对二水平因素，平方和的计算有一个简单的公式。 设计算方法对任何二水平的因素都是适用的，若共做了n次试验，某一列是二水平，相应的K值是K1和K2 ，则该列的平方和S为:,例2-3 某一种抗菌素的发酵培养基由黄豆饼粉、蛋白胨、葡萄糖、碳源1号、KH2PO4、无机盐1号等组成。现打算对其中五个成分的最适配比，以及最适装量，按三种水平进行试验，并将其两个成分（黄豆饼与蛋白胨）合并为一个因素，这样构成一个五因素三水平试验。需考虑的交互作用有AB、AC、AE。因素水平表如表2-9所示。,试验方案及结果分析见表2-10,三、 有重复试验的方差分析,正
11、交试验中有重复试验的方差分析同单因素有重复试验的方差分析方法基本相同。在无重复的试验中，我们把空列的平方和作为误差的平方和，其中既包括有试验误差，也包含有模型误差。称为第一类误差平方和，记为Se1，在重复试验中，还有第二类误差平方和，记为Se2，定义如下：,例2-4 某厂进行硅橡胶工艺参数试验，指标为老化前的抗拉强度，因素水平如表212所示。,需考虑的交互作用有AB，AD，每次试验重复四次，表头设计如下：,表214 方差分析表,结论：方差分析的结果表明，C、D对指标影响不显著，且C不涉及交互作用，依节方便的原则取C1. 而A、B、D的最优水平，通过作二元表及二元图选出。二元表及二元图如下:,从
12、二元表及二元图知，对AB，好的搭配为A2B2 对AD，好的搭配为A2D1 综合考虑A、B、D三因素应取水平搭配为A2D1B1C1. 故，选出的最优条件为A2D1B1C1,因为重复试验能大大提高试验的精度，所以在条件许可时，应尽可能安排重复试验。 例25 研究某三因素二水平体系，其取值如表215所示。试安排试验并从试验结果分析因素A、B、C及其交互作用对试验指标的影响。若有重复试验时，其结果又如何呢？选取L8(27)表安排试验，试验方案及结果计算如表216所示。,表2-15,表2-16 实验方案及结果计算表,所以，整个试验的最佳水平组合为A2B1C1 二元表及二元图如下,0.50 0.25 0
13、-0.25,B1 B2 B,C2,C1,指标,表217 方差分析表,如果对同一号的试验均重复一次或几次，显然可以提高试验的精确度。本例对所作的8次试验各重复一次，其试验结果及计算如表218所示。,表218 试验结果及计算,A 1,B 2,AB 3,C 4,AC 5,BC 6,7,因素(列号),试验号,表219 方差分析表,四、缺落数据的弥补,当因素超过一个时，要求数据整齐，有时，某些试验不幸做坏了，或者数据丢失，客观条件不允许重复试验。 （一）试验有重复的情况 试验有重复，并且每一处理至少有一个数据没有丢失，这时丢失或缺落的数据就用同一处理的而没有丢失的数据的平均值代替。通过这样弥补来的数据不能算在自由度内。 （二）一种处理数据完全脱落的情况 1.用数据结构模型和参数估计的方法 2.极小化误差法,表223 方差分析表,2、极小化误差法,这要求估计值能使误差的平方和达到最小值，这可
