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1、计算机控制技术课程讲义,1,第四章 线性离散控制系统的数学描述方法,4.1 Z变换的定义,线性连续系统VS线性离散系统分析方法,计算机控制技术课程讲义,2,4.1.1 Z变换的定义,设连续信号f(t)的拉普拉斯变换为F(S),经过采样开关后的信号为f*(t)，采样周期T，则：,对其两边进行拉氏变换：,Z变换实质上是拉普拉斯变换的一种推广或变形，又称为脉冲拉普拉斯变换、离散拉普拉斯变换,计算机控制技术课程讲义,3,关于Z变换的几点说明：,1、只有离散信号 f*(t)， 才有 Z 变换。 如下几种简述表达的是同一个事实： 离散信号 f*(t) 的 Z 变换 连续信号 f(t) 的 Z 变换 拉氏变
2、换 F(s) 的 Z 变换 即：F(z) = Z f*(t) = Z f(t) = ZF(s) 2、 F(z) 和 f*(t) 描述离散信号在各个采样时刻的变化规律，与非采样时刻的值无关。所以同一离散信号及其 Z 变换可以对应不同的连续函数。 3、和式中各项， f(kt)描述幅值， z 描述时间。,计算机控制技术课程讲义,4,4.1.2典型时间信号的Z变换,例4-1 求单位阶跃信号 f(t) = 1(t) 的Z变换 。,例4-2 求指数函数 f(t) = e-at Z变换 。,计算机控制技术课程讲义,5,常用函数的Z变换,计算机控制技术课程讲义,6,4.2 Z变换的基本定理,1、线性定理 2、
3、滞后定理（右偏移） 3、超前定理（左偏移） 4、初值定理 5、终值定理 6、复平移定理 7、卷积定理,计算机控制技术课程讲义,7,1、线性定理,设：,则：,函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。,2、滞后定理,设在k0时连续函数f(k)的值为零，其Z变换为F（Z）则,原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-n,算子z-n的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。,计算机控制技术课程讲义,8,3、超前定理,设函数f(kT)的Z变换为F(Z), 若k=0，1，(n-1)时，f（kT）为零，则有：,滞后和超前定理统称为平移定理，是差分方程Z变换求解的主要依据，这与用
4、拉氏变换的微分定理解微分方程类似。,4、初值定理,设函数f(kT)的Z变换为F(Z), 当Z趋向无穷大时，则有：,计算机控制技术课程讲义,9,5、终值定理,设函数f(kT)的Z变换为F(Z), 则有：,6、复平移定理,经常用于分析计算机系统的稳态误差！,计算机控制技术课程讲义,10,7、卷积定理,设函数f1(kT)， f2(kT)的Z变换分别为F1(Z), F2(Z),则有：,时间域两个离散时间序列f1(kT)， f2(kT)的离散卷积和等于Z域的乘积,计算机控制技术课程讲义,11,4.3 Z反变换,已知函数f(kT)的Z变换F(z)，求离散时间序列f(kT)的过程，称为Z反变换，记为：,常用
5、求解方法：长除法 、 部分分式法 、 留数法。,要点：将F（Z）用长除法变化为降幂排列的展开式。,计算机控制技术课程讲义,12,Z反变换为,也即：,例4-5 求,的Z反变换,解：,计算机控制技术课程讲义,13,计算机控制技术课程讲义,14,2.部分分式法（因式分解法，查表法） 步骤：先将变换式写成,，展开成部分分式，,查Z变换表,两端乘以Z,计算机控制技术课程讲义,15,例4-6 求,的Z反变换,解：,查Z变换表有：,计算机控制技术课程讲义,16,4.4差分方程,采样系统的数学模型用差分方程描述。 差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。 差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、 y(k-2)、y(k-3)、，以及输入序列u(k)，及其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、，所构成。（ k = 0, 1, 2, ） 序列中 k 即 kT，k = 0T为研究开始时刻， kT 可以理解为当前时刻，而(k-1) T为前一采样时刻。,计算机控制技术课程讲义,17,差分方程的建立：,数字系统中，由算法决定。 连续系统被采样时： 首先在时域内求出微分方程 将采样序列代入方程 用差分代替求导 用求和代替积分 例：惯性系统被采样后的差分方程：,
