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1、球的体积和表面积,正六棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?,棱柱的展开图,正棱柱的侧面展开图,正五棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?,棱锥的展开图,侧面展开,正棱锥的侧面展开图,正四棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?,棱锥的展开图,侧面展开,正棱台的侧面展开图,棱柱、棱锥、棱台的表面积,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和,圆柱的表面积,圆柱的侧面展开图是矩形,S侧=,圆锥的表面积,圆锥的侧面展开图是扇形,S侧=,圆台的表面积,参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧面
2、展开图是什么 ,圆台的侧面展开图是扇环,S侧,S侧=,三者之间关系,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?这种关系是巧合还是存在必然联系?,棱柱、棱锥和棱台的体积公式: v= 当s=s时为棱柱体积公式v=sh. 当s=0为棱锥体积公式v=.,怎样求球的体积?,实验:排液法测小球的体积,实验:排液法测小球的体积,实验:排液法测小球的体积,实验:排液法测小球的体积,实验:排液法测小球的体积,实验:排液法测小球的体积,实验:排液法测小球的体积,H,小球的体积 等于 它排开液体的体积,实验:排液法测小球的体积,曹冲称象,假设将圆n等分,则,A2,A1,An,O,A3,回顾圆面积公式的推导,割
3、 圆 术,早在公元三世纪,我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数,使其面积与圆的面积之差更小,即所谓“割之弥细,所失弥小”。这样重复下去,就达到了“割之又割,以至于不可再割,则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。,已知球的半径为R,用R表示球的体积.,2.球的体积,O,R,O,A,球的体积,定理:半径是R的球的体积,高等于底面半径的旋转体体积对比,阅读材料以及思考题,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍? 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积.,课堂练习,8倍,钢球直径是5c
4、m,.,把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?,球内切于正方体,侧棱长为5cm,两个几何体相(内)切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.,两个几何体相接: 一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上,球面不能展开成平面图形,所以 求球的表面积无法用展开图求出, 如何求球的表面积公式呢?,回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发,可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。,3. 球的表面积,球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。,球(即球体):球面所围成的几何体。,它包括球面和球面所包围的空间。,半径是R的球的体积:,球的
5、表面积,第一步:分割,球面被分割成n个网格,表面积分别为:,则球的体积为:,球的表面积,球的表面积是大圆面积的4倍,R,1、地球和火星都可以看作近似球体,地球半径约为6370km,火星的直径约为地球的一半。 求地球的表面积和体积; 火星的表面积约为地球表面积的几分之几?体积呢?,课堂练习,解:,(1),(2),例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.,证明:,(2),例2.如图,已知球O的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上, 求证:,分析:正方体内接于球
6、,则由球和正方体都是中心对称图形可知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。,略解:,变题1.如果球O切于这个正方体的六个面,则有R=。 。,(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍。 (2)若球的半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的倍。 (3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是。 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是。 (5)若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 ,则两球的直径之差为。,题组一:,题组二:,1、一个四面体的所有的棱都为 ,四个顶点在同,一球面上,则此球的表面积( ),A 3,B 4,D 6,2、若正四体的棱长都为6,内有一球与四
7、个面都相,切。求球的表面积。,1、一个四面体的所有的棱都为 ,四个顶点在同,一球面上,则此球的表面积( ),A 3,B 4,D 6,C,球半径为R,O为A在平面BCD上的射影,M为CD的中点。,A,1、一个四面体的所有的棱都为 ,四个顶点在同,一球面上,则此球的表面积( ),A 3,B 4,D 6,选A,2、若正四体的棱长都为6,内有一球与四个面都相,切,求球的表面积。,解:作出过一条侧棱PC和高PO的截面,则截面三角形PDC的边PD是斜高,DC是斜高的射影,球被截成的大圆与DP、DC相切,连结EO,设球半径为r,,2、若正四体的棱长都为6,内有一球与四个面都相,切,求球的表面积。,解法2:连
8、结OA、OB、OC、OP,那么,解题小结:,1、多面体的“切”、“接”问题,必须明确“切”、“接”位置和有关元素间的数量关系,常借助“截面”图形来解决。,2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形,要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决,并注意方程思想的应用。,3、注意化整为零的思想的应用。,4、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一,外接球半径等于其高的四分之三。,小结:,(1)有关球和球面的概念。,(2)球的体积公式: 球的表面积公式:,(3)用“分割-求近似和-化为准确和” 的数学方法推出了球的体积和表面积公式:,(4)球的体积公式和表面积的一些运用。,作业,习题9.10 第5,6,7,8题,