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1、高中数学 第一章 计数原理 1.3 组合课堂导学 苏教版选修2-3 三点剖析 一、组合数的运算 【例1】已知,求. 解析:m的范围为m|0m5,mZ, 由已知, , 即60-10(6-m)=(7-m)(6-m), 得m=21或m=2, 又m0,5,则有m=2. . 温馨提示 用计算具体的组合数,用证明有关组合数的代数式.有时还用到组合数的性质化简组合数. 二、有限制条件的组合问题 【例2】 某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要选派5名参加赈灾医疗队. (1)某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有多少种选法? (2)至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有几种选法? 解析:(1)
2、某内科医生参加，某外科医生不参加，只需从剩下的18名医生中选4名即可.故有=3 060(种). (2)解法一:依据组合问题分类讨论原则,至少有一名内科医生和至少有一名外科医生可分为四类:一内四外；二内三外；三内二外；四内一外.共有=14 656(种). 解法二:依据组合问题不符合条件的用剔除原则，事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的对立面是“全部为内科医生或外科医生”，共有种选法，则=14 656(种). 温馨提示 题目中有“含”与“不含”，“最多”与“至少”等词语,“含有”一般是先将这些元素取出，不足部分由另外元素补充， “不含”，可将这些元素剔除，再从剩下的元素中取；解“最多”
3、与“最少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解. 三、分组、分配问题 【例3】 有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种不同的分法? (1)甲得4本,乙得3本,丙得2本; (2)一人得4本,一人得3本,一人得2本; (3)甲、乙、丙各得3本. 解析:(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本这件事分三步完成: 第一步:从9本不同的书中,任取4本分给甲,有种方法; 第二步:从余下的5本书中,任取3本分给乙,有种方法; 第三步:把剩下的2本书给丙,有种方法. 根据分步乘法计数原理,共有不同的分法 =1 260(种). 所以甲得4本,乙得3本,丙得2本的分法共有1 260
4、种. (2)一人得4本,一人得3本,一人得2本这件事,分两步完成: 第一步:按4本、3本、2本分成三组,有种方法. 第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有种方法. 根据分步乘法计数原理,共有不同的分法 =7560(种). 所以一人得4本,一人得3本,一人得2本的分法共有7 560种. (3)用与(1)相同的方法求解,得=1 680(种). 所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1 680种. 各个击破 类题演练 1 计算:的值。 解析:原式中自然数n满足不等式组 ,解得n=10, 则=466. 变式提升 1 计算： （1） (2) 解析:(1) = =35+35=70. (2)=1-1=25
5、2-1=251. 类题演练 2 (2006山东高考,理9)已知集合A =5,B =1,2,C =1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( ) A.33 B.34 C.35 D.36 解析:从集合A、B、C中各取1个数组成空间点的坐标,一共可以组成=36个,其中点(5,1,1)、 (1,5,1)和(1,1,5)各重复1个,于是一共有33个不同的点的坐标.故选A. 答案:A 变式提升 2 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从中任意抽出3件检查， (1)共有多少种不同的抽法？ (2)恰好有
6、一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？ 解析：从98件正品和2件次品共100件产品中抽取3件产品进行检查，所抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题. (1)所求的不同抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有 = =161 700(种). (2)抽出的3件中恰好有一件是次品的这件事，可以分两步完成. 第一步：从2件次品中任取1件，有种方法； 第二步：从98件正品中任取2件，有种方法. 根据分步乘法计数原理知，不同的抽取方法共有 =24 753=9 506(种). (3)从100件产品中任取3件的抽法，有种，其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有
7、 =161 700-152 096=9 604(种). 类题演练 3 一个口袋中有10个球,其编号为1,2,3,10,从中任取5个球. (1)至少有一个奇数号球的取法有多少种? (2)至少奇数号球和偶数号球各2个的取法有多少种? (3)取出的球的最大号数和最小号数之差为7,这样的取法有多少种? 解析:(1)间接法:10个球任取5个球的取法有种方法,其中没有一个奇数号球的取法为种方法,所以至少有一个奇数号球的取法为=251种. (2)分两类:2个奇数号球,3个偶数号球的取法有种;3个奇数号球,2个偶数号球的取法有种,所以取法种数为=200种. (3)满足要求的5个球中最大号数与最小号数共有3种情况:1与8,2与9,3与10.每种情况的取法均为种,所以取法种数共为=60种. 变式提升 3 六本不同的书,按下列要求,各有多少种不同的分法? (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本. 解析:(1)从6本不同的书中取2本分给甲的分法有种,从余下的4本书中取出2本给乙的分法有种,最后两本给丙的分法有种.故所求的不同分法有=90种. (2)因为每堆本数不同,所以可认为它是有确定对象的分组,可分为三步完成,由分步计数原理可知,所求的不同分法有=60种.
