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1、2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.一般地,如果函数y=f(x)在实数处的值等于零,即 ,则叫做这个函数的零点. 2.一般地,函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根个数 . 3.函数f(x)的图象与x轴有 叫这个函数有零点,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的 .,f()=0,相等,公共点,横坐标,【拓展延伸】 1.函数零点的性质 对于任意函数y=f(x),只要它的图象是连续不间断的,则有: (1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x-3的图象
2、在零点-1的左边时,函数值取正号;当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负;再通过第二个零点3时,函数值又由负变为正,这样的零点叫变号零点. (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号. (3)如果一个二次函数有二重零点,那么它通过这个二重零点时,函数值的符号并不改变,这样的零点叫做不变号零点.,2.函数零点的判断 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,因此求函数的零点可以转化为求相应的方程的根.反之,若知道函数的零点,即“函数图象与横轴的交点的横坐标”,则可以直接写出函数对应的方程的根,即函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 因此
3、判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根.,二次函数的零点与相应二次方程的实根个数的关系,自我检测,1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是( ) (A)1,-4 (B)4,-1 (C)1,3 (D)不存在,B,2.函数y=2x-1的图象与x轴交点坐标及零点分别是( ),B,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,ac0,则函数的零点有( ) (A)1个 (B)2个 (C)0个 (D)不确定 4.若函数f(x)=3x+b的零点为2,则b= .,解析:由已知f(2)=0,所以32+b=0,所以b=-6. 答案:-6,B,类型一,求函数的零点,课堂探究
4、素养提升,【例1】 (1)求函数f(x)=x4-2x2-3的零点;,思路点拨:(1)利用因式分解法解方程f(x)=0可求零点;,(2)求函数f(x)=-3x2-7x+6的零点.,思路点拨:(2)令f(x)=0求出零点.,方法技巧 由于函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,所以,求函数的零点就是解与函数相对应的方程;一元二次方程可用求根公式求解,简单的高次方程可用因式分解法求解.另外分式方程求根,要验根.,变式训练1-1:若函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是 .,类型二,函数零点的判断,思路点拨:判断函数是否有零点,即判断方程f(x)=0是
5、否有根即可,求零点,即求方程根.,解:(1)f(x)=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1), 令f(x)=0,解得x=3或x=-1.所以函数存在零点且为3和-1. (2)令f(x)=x2+x+2=0,=1-412=-70,所以方程无实根. 所以f(x)=x2+x+2无零点.,方法技巧 判断二次函数f(x)的零点个数,可转化为判断方程f(x)=0的实根的个数,进而转化为判断二次函数的图象与x轴的交点的个数问题.而这类问题一般通过一元二次方程的判别式来判断.,变式训练2-1:若奇函数f(x)的定义域为R,且在(0,+)上是单调增函数,若f(1)=0,求函数f(x)在(-2,2)内的零点个数.,
6、解:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 因为f(1)=0,所以f(-1)=0. 又因为f(x)在原点处有定义,所以f(0)=0. 因为f(x)在(0,+)上是单调增函数, 所以f(x)在(0,+)上只有一个零点, 因为f(x)是奇函数, 所以f(x)在(-,0)上是单调增函数, 所以f(x)在(-,0)上也只有一个零点. 所以函数f(x)在(-2,2)内有3个零点,即-1,0,1.,类型三,函数零点的综合应用,【例3】 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(aR)的实数解的个数.,当a=0或a(1,+)时,原方程有两个实数解; 当a=1时,原方程有三个实数解; 当0a1时,原
7、方程有四个实数解.,方法技巧 含参数的函数零点个数问题,可结合函数图象进行判断,即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数图象交点的个数.,变式训练3-1:函数f(x)=|x|-k有两个零点,则( ) (A)k=0 (B)k0 (C)0k1 (D)k0,解析:因为函数f(x)=|x|-k有两个零点,所以函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,如图所示.数形结合可得,当k0时,函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,故k的范围是(0,+).故选B.,类型四,易错辨析,【例4】 已知二次函数f(x)=x2-(m-1)x+2在0,1上有且只有一个零点,求实数m的取值范围.,错解:根据函数零点的性质,f(0)f(1)4, 所以实数m的取值范围是(4,+). 纠错:错解的原因是没有考虑二次函数的各种情况,片面地使用了函数零点的性质.,(2)当方程x2-(m-1)x+2=0有两个不相等的实数根时,又f(0)0,故 若f(1)=0,则1-(m-1)+2=0, 解得m=4,则f(x)=x2-3x+2,解x2-3x+2=0得x1=1,x2=2,满足题意; 若f(1)0,则f(0)f(1)4. 综上所述,实数m的取值范围为4,+).,谢谢观赏！,
