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1、高考资源网（） 您身边的高考专家2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学理科 试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由题得，集合，所以.集合中元素的个数为3.故选C.2. 设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，从而则故答案选3. 已知，则、的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，即故答案选4. 设，是实数，则“”是“”的（
2、）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则同号，不等式等价为，即，必要性成立若满足，但不成立，则充分性不成立，故选5. 函数的一条对称轴方程为，则（）A. 1 B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】试题分析：的对称轴是 化简得考点：三角函数性质点评：利用对称轴处取最值求解6. 现有个命题.函数有个零点.若则中至少有个为负数.那么,这个命题中,真命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出与的图像，如图显然有两个交点，所以正确；，当，成立，所以正确；若则中至少有个为负数.点睛：判断函数零点问题，可以转化为
3、方程的根或者两个函数的交点问题，特别是选择题、填空题，通过函数图像判断较简单。涉及至少、至多这类问题的证明可以考虑反证法，注意假设的结论是求证问题的反面，即原命题的非命题。7. 对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： ,仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为( )A. 43 B. 44 C. 45 D. 46【答案】C【解析】根据题意，从到，正好用去从开始的连续奇数共：个，得是从开始的第个奇数，当时，从到，用去从开始的连续奇数共个；故选8. 已知内角，的对边分别是，若，则的面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： 考点：正余弦定理解三角形
4、9. 设是定义在上的偶函数，且时，若在区间内关于的方程有四个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由，得又是定义在上的偶函数，即则函数是以为周期的函数，结合题意画出函数在上的图象与函数的图象，结合图象分析可知，要使与的图象有四个不同的交点，则 解得即的取值范围是故答案选点睛：遇到条件可以得图象关于对称，再根据偶函数，计算出周期，在同一坐标系中画出两个函数的图象，结合题意可以得到关于的关系式，从而得到答案10. 如图圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播若D是DFE弧与轴的交点，设，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形的面积为（图中阴影部分），则函数的图象大致是（
5、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由图形知，声波扫过平行四边形所留下阴影面积的变化是先增加的越来越快，再逐渐变慢，到增加量为，在中间圆弧过后，到这一段上，由平行四边形的性质知道，此一段时间内，阴影部分增加的速度不变，由此变化规律知只有最符合这一变化规律。故答案选11. 已知偶函数满足，且当时，则关于的方程在上根的个数是（ ）A. 10个 B. 8个 C. 6个 D. 4个【答案】C【解析】函数的周期为2在上，画出函数与的简图，如图所示：根据图象，关于的方程在上根的个数是6个，故选C点睛：本题考查了函数的性质以及根据函数图象求零点个数的问题，是高考常考的题型.本题根据所给的条件只能画出
6、一部分图象，还需转化包含函数性质的抽象式子，比如奇偶性：奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称；周期性：，说明是函数的一个周期；进而此题借助函数的奇偶性及周期性确定两个函数的图象的交点的个数，也确定了方程的解的个数.12. 对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】令，则，当时，单调递增；当时，单调递减；，则的取值范围为故答案选点睛：分离含参量得到，本题转化为任意取一个，两个函数有两个不同的交点，再运用换元法求解等号左边函数的单调性，结合最值即可求出结果13. 函数的值域为_.【答案】【解析】由于当时，有最大值当时，有最小值故
7、函数的值域为14. 若正实数满足，则的最小值_.【答案】 2【解析】因为，所以，即，所以，故，应填答案。15. 已知函数，若存在实数，对任意，都有，则的最大值是_.【答案】.点晴：关于恒成立问题与确成立的几个重要结论：（1）在区间上，恒成立在上，；在区间上，恒成立在上，；（2）恒成立，恒成立（3）对于任意的，恒成立，则，对于任意的，恒成立，则；（4）存在，成立，则，存在，成立，则16. 设是一个非空集合，是定义在上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：（1）对于，都有；（2）对于，都有；（3）对于，使得；（4）对于，使得（注：“”同（iii）中的“”）.则称关于运算构成一个群.现给出下列集合和
8、运算：是整数集合，为加法；是奇数集合，为乘法；是平面向量集合，为数量积运算；是非零复数集合，为乘法. 其中关于运算构成群的序号是_（将你认为正确的序号都写上）.【答案】【解析】若是整数集合，则两个整数相加仍为整数，整数加法满足结合律；，则；在整数集合中存在唯一一个，使，故整数集合关于运算*构成一个群；是奇数集合，为乘法，则，不满足；是平面向量集合，为数量积运算，则不满足；是非零复数集合，为乘法，则两个非零复数相乘仍为非零复数；非零复数相乘符合结合律；，则）；在中存在唯一一个，使。故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合是函数的定义域
9、，集合是不等式的解集，.（1）若，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：1）由题，若，则必须满足解之可得的取值范围；（2）或是的充分不必要条件，是的真子集，即解之可得的取值范围；试题解析：（1），若，则必须满足解得,所以的取值范围是（2）易得或是的充分不必要条件，是的真子集，即解得，的取值范围是考点：简易逻辑，不等式的解法18. 已知函数，.（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程； （2）在锐角中，内角，的对边分别为，已知，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦、余弦的二倍角公式和两角和的正弦公式化简解析
10、式可得，根据余弦函数的性质即可求最小正周期及对称轴方程；（2）由，又A为锐角，可得，由根据正弦定理可得，从而可得的面积.试题解析：（1），的最小正周期为，的图像对称轴的方程为: （2）由（1）知：，又A为锐角，由正弦定理 即：，.19. 已知等差数列前项和为，数列的前项和为， ， .（1）求数列， 的通项公式；（2）若数列满足, ，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析: （I）设等差数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可首项和公差，即可求出数列an的通项公式，再根据数列的递推公式可得所以bn为首项为1，公比为4的等比数列，即可求出数列bn的通项公式（II）根据
11、数列的递推公式先求出cn的通项公式，再分组求和试题解析:（）设等差数列的公差为 依题意得 解得， 所以. 当时， 当时， ， 以上两式相减得，则， 又，所以，. 所以为首项为1，公比为4的等比数列， 所以 （）因为， 当时， 以上两式相减得， 所以，. 当时，所以，不符合上式， 所以 . 20. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(， 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为1m，且设，透光区域的面积为（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域
12、与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边的长度【答案】（1），；（2）1【解析】试题分析: 根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数，借助求导，研究函数单调性求出最大值.试题解析:（1）过点作于点，则，所以， 所以， 因为，所以，所以定义域为（2）矩形窗面的面积为则透光区域与矩形窗面的面积比值为10分设，则， 因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减所以当时，有最大值，此时(m) 答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m【点睛】应用问题在高
13、考试题中很常见，也是学生学习的弱点，建立函数模型是关键，本题根据题目所给的条件列出面积关于自变量的函数关系，注意函数的定义域；求函数最值问题方法很多，求导是一种通法.21. 已知椭圆和直线：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线过点且与椭圆相交两点，试判断是否存在直线，使以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（）根据椭圆中的 ，以及 ，和点到直线的距离公式计算求得 ；（）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线为 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系计算 ，从而求得斜率 和直线方程.试题解析：（）由直线，即又由，得，即，又，将代入得，即，所求椭圆方程是；（）当直线的斜率不存在时，直线方程为，则直线与椭圆的交点为，又，即以为直径的圆过点；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由，得，由，得或，以为直径的圆过点，即，由，得，解得，即；综上所述，当以为直径的圆过定点时，直线的方程为或.22. 已知函数.（1）当
