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1、3.1.1倾斜角与斜率【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同【导入新知】1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是APx，直线l的倾斜角是BPx.2倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是0180，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.3倾斜角与直线形状的关系倾斜角00909090180直线【化解疑难】对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定
2、义中含有三个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.【提出问题】日常生活中，常用坡度(坡度)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么
3、对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等【导入新知】1斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan_.2斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率3斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度【化解疑难】1倾斜角与斜率k的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)(2)直线的斜率也反
4、映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2y1，分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是x1x2，即k.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论【例1】(1)若直线l的向上方向与
5、y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()A30B60C30或150 D60或120(2)下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin 0D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan【解析】(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60或120.(2)对于A，当90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan ，但只有0180时，才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，0，sin 0，故C不正确，故选D.【答案】(1)D(2)D【类题通法】求直线的倾斜角的方法及两
6、点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.【活学活用】1直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A0，90)B90，180)C(90，180) D(0，180)解析：选C直线倾斜角的取值范围是0，180)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90，180)2设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45B-135C135-D.当0135时为45，当135180时
7、为-135解析：选D当0135时，l1的倾斜角是45.当135180时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为135，故应选D.【例2】(1)已知过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为135，则y_；(2)过点P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_；(3)已知过A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为1，则m的值为_【解析】(1)直线AB的斜率ktan 1351，又k，由1，得y5.(2)由斜率公式k1，得m1.(3)当m3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在当m3时，k1，解得m0.【答案】(1)5(2)1(3)0【类题通法】利用斜率公式求直线的斜率应注意的
8、事项(1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置【活学活用】3若直线过点 (1,2)，(4，2)，则此直线的倾斜角是 ()A 30 B45C60 D90解析：选A设直线的倾斜角为，直线斜率k，tan .又0180，30.【例3】已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值【解析】如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)由
9、于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.【类题通法】根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题【活学活用】4点M(x，y)在函数y2x8的图象上，当x2,5时，求的取值范围解：的几何意义是过M(x，y)，N(1，1)两点的直线的斜率点M在函数y2x8的图象上，且x2,5，设该线段为AB且A(2,4)，B(5，2)kNA，kNB，.的取值范围为，【典例】已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围_；直线l的斜率k的取值
10、范围_【解析】如图，由题意可知kPA1，kPB1，则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，直线l的倾斜角的取值范围是45135；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k1.【答案】45135k1或k1【易错防范】1本题易错误地认为1k1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90时，有kkPB；当l的倾斜角大于90时，则有kkPA.2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPAkkPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边
