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1、热点探究课热点探究课( (五五) ) 平面解析几何中的高考热点问题平面解析几何中的高考热点问题 命题解读 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以 求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试 题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂 的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现 热点 1 圆锥曲线的标准方程与性质 圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圆锥曲线的标准方程 是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数 法离心率是高
2、考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及a，b，c三者之间的关系另外抛物 线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点 图 1 (2017石家庄质检)如图 1，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为 x2 a2 y2 b2 F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1. (1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程； 22 (2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e. 解 (1)由椭圆的定义， 2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2. 22 设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2， 因此 2c|F1F2| |PF1|2|PF2|2 2. 3 分 2 222 223 即c，从而b1， 3
3、a2c2 故所求椭圆的标准方程为y21. 5 分 x2 4 (2)连接F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a， |QF1|QF2|2a， 又|PF1|PQ|PF2|QF2|(2a|PF1|)(2a|QF1|)， 可得|QF1|4a2|PF1|. 又因为PF1PQ且|PF1|PQ|， 所以|QF1|PF1|. 8 分 2 由可得|PF1|(42)a， 2 从而|PF2|2a|PF1|(22)a. 2 由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即(42)2a2(22)2a24c2，10 分 22 可得(96)a2c2，即96， 2 c2 a22 因此e . 12 分
4、c a 96 263 规律方法 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合 思想的应用 2圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确a，b，c中任意两量的关系都可 求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制 对点训练 1 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶 2 2 点为抛物线x24y的焦点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线yx1 与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的 方程 解 (1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上 设椭圆的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 因为抛物线x24y的焦点为(0,1)， 所以b
5、1. 2 分 由离心率e ，a2b2c21c2， c a 2 2 从而得a，所以椭圆的标准方程为y21. 5 分 2 x2 2 (2)由Error!解得Error!所以点A(2,1). 8 分 因为抛物线的准线方程为y1， 所以圆的半径r1(1)2， 所以圆的方程为(x2)2(y1)24. 12 分 热点 2 圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲 线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题 角度 1 圆锥曲线的定值问题 (2016北京高考)已知椭圆C：1 过A(2,0)，B(0,1) x2 a2 y2 b2 两点 (1)求椭圆
6、C的方程及离心率； (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交 于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值 解 (1)由题意得a2，b1， 所以椭圆C的方程为y21. 3 分 x2 4 又c，所以离心率e . 5 分 a2b23 c a 3 2 (2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4. 2 02 0 又A(2,0)，B(0,1)， 所以直线PA的方程为y(x2). 7 分 y0 x02 令x0，得yM，从而|BM|1yM1. 2y0 x02 2y0 x02 直线PB的方程为yx1. 9 分 y01 x0 令y0，得xN，从而|AN|2x
7、N2. x0 y01 x0 y01 所以四边形ABNM的面积S |AN|BM| 1 2 1 2(2 x0 y01)(1 2y0 x02) x2 04y2 04x0y04x08y04 2x0y0x02y02 2. 2x0y02x04y04 x0y0x02y02 从而四边形ABNM的面积为定值. 12 分 规律方法 1.求定值问题的常用方法： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 2定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的 问题，证明要解决的问题与参数无关在这类问题中选择消元的方向是非常
8、关键的 角度 2 圆锥曲线中的定点问题 设椭圆E：1(ab0)的离心率为e，且过点. x2 a2 y2 b2 2 2 (1， 6 2) (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：xmyt0 与椭圆E相交于不同的两点 M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定 点，求出该定点的坐标. 【导学号：66482412】 解 (1)由e2 ，可得a22b2，2 分 c2 a2 a2b2 a2 1 2 椭圆方程为1， x2 2b2 y2 b2 代入点可得b22，a24， (1， 6 2) 故椭圆E的方程为1. 5 分 x2 4 y2 2 (2
9、)由xmyt0 得xmyt， 把它代入E的方程得(m22)y22mtyt240， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1y2，y1y2， 2mt m22 t24 m22 x1x2m(y1y2)2t， 4t m22 x1x2(my1t)(my2t) m2y1y2tm(y1y2)t2. 8 分 2t24m2 m22 因为以MN为直径的圆过点A， 所以AMAN， 所以(x12，y1)(x22，y2) AM AN x1x22(x1x2)4y1y2 24 2t24m2 m22 4t m22 t24 m22 0. 10 分 3t28t4 m22 t23t2 m22 因为M，N与A均不重合，所以t2
10、， 所以t ，直线l的方程是xmy ，直线l过定点T， 2 3 2 3 ( 2 3，0) 由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于 0， 所以直线l过定点T. 12 分 ( 2 3，0) 规律方法 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程， 而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点 即所求定点 2从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意 热点 3 圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的 一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有 关的一
11、些问题 图 2 已知椭圆y21 上两个不同的点A，B关于直线ymx 对称 x2 2 1 2 (1)求实数m的取值范围； (2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点). 【导学号：66482413】 解 (1)由题意知m0， 可设直线AB的方程为yxb. 1 m 由Error!消去y，得 x2xb210. 2 分 ( 1 2 1 m2) 2b m 因为直线yxb与椭圆y21 有两个不同的交点，所以2b220. 1 m x2 2 4 m2 将线段AB中点M代入直线方程ymx ，解得b. ( 2mb m22， m2b m22) 1 2 m22 2m2 由得m. 6 3 6 3 故m的取值范围是. 5
12、分 (， 6 3) ( 6 3 ，) (2)令t ， 1 m ( 6 2 ，0) (0， 6 2) 则|AB|， t21 2t42t23 2 t21 2 且O到直线AB的距离为d. 7 分 t21 2 t21 设AOB的面积为S(t)， 所以S(t) |AB|d， 1 2 1 2 2(t21 2)22 2 2 当且仅当t2 ，即m时，等号成立 1 22 故AOB面积的最大值为. 12 分 2 2 规律方法 范围(最值)问题的主要求解方法： (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决 (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起
13、目标函数 或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解 对点训练 2 已知椭圆C：1(ab0)的焦距为 4，且过点(，2) y2 a2 x2 b22 (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求的取值范围 OE OF 解 由椭圆C：1(ab0)的焦距为 4. y2 a2 x2 b2 得曲线C的焦点F1(0，2)，F2(0,2). 2 分 又点(，2)在椭圆C上， 2 2a4， 2022222 所以a2，b2， 2 即椭圆C的方程是1. 5 分 y2 8 x2 4 (2)若直线l垂直于x轴， 则点E(0,2)，F(0，2)，8. 22 OE OF
14、 若直线l不垂直于x轴， 设l的方程为ykx2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方 程得到： (2k2)x24kx40， 则x1x2，x1x2，8 分 4k 2k2 4 2k2 所以x1x2y1y2 OE OF (1k2)x1x22k(x1x2)4 48. 10 分 44k2 2k2 8k2 2k2 20 2k2 因为 0b0)的离心率是，点P(0,1)在短轴 x2 a2 y2 b2 2 2 CD上，且1. PC PD 图 3 (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得 为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 OA OB PA PB 解 (1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b) 又点P的坐标为(0,1)，且1， PC PD 于是Error!解得a2，b. 4 分 2 所以椭圆E的方程为1. 5 分 x2 4 y2 2 (2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2) 联立Error!得(2k21)x24kx20. 8 分 其判别式(4k)28(2k21)0， 所以x1x2，x1x2. 4k 2k21
