《高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节归纳与类比教师用书文北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节归纳与类比教师用书文北师大版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节第四节 归纳与类比归纳与类比 考纲传真 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合 情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能用 它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 1归纳推理 (1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这 种属性的推理方式 (2)特点：是由部分到整体，由个别到一般的推理 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的 2类比推理 (1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他 特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程
2、 (2)特点：是两类事物特征之间的推理 利用类比推理得出的结论不一定是正确的 3合情推理 (1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论 (定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式 (2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 4演绎推理 (1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过 程 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般
3、的推理( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( ) (3)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数m是 3 的倍数，则m一定是 9 的倍数” ，这是 三段论推理，但其结论是错误的( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大” ，推出“半径为R的球的内接 长方体中，正方体的体积最大”是( ) A归纳推理 B类比推理 C演绎推理 D以上都不是 B B 类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事 物的性质去推测另一类
4、事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)所以，由“半径为R的 圆内接矩形中，正方形的面积最大” ，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体 积最大”是类比推理 3(教材改编)已知数列an中，a11，n2 时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) Aan3n1 Ban4n3 Cann2 Dan3n1 C C a11，a24，a39，a416，猜想ann2. 4 “因为指数函数yax是增函数(大前提)，而y x是指数函数(小前提)，所以函 ( 1 3) 数y x是增函数(结论)” ，上面推理的错误在于( ) ( 1 3) A大前提错误导致结论错误 B小前提错
5、误导致结论错误 C推理形式错误导致结论错误 D大前提和小前提错误导致结论错误 A A “指数函数yax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的因为实数a的取 值范围没有确定，所以导致结论是错误的 5(2014全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市 由此可判断乙去过的城市为_ A 由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城 市” ，说明甲去过 A，C 城市，而乙“没去过 C 城市” ，说明乙去过城市 A，由此可知，乙去 过的城市为 A.
6、 归纳推理 (1)(2016武汉 4 月调研)数列 ， 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 m1 2 m1 ，的第 20 项是( ) m m1 A. B 5 8 3 4 C D 5 7 6 7 (2)(2016山东高考)观察下列等式： 22 12； (sin 3) (sin 2 3 ) 4 3 2222 23； (sin 5) (sin 2 5 )(sin 3 5 )(sin 4 5 ) 4 3 2222 34； (sin 7) (sin 2 7 )(sin 3 7 )(sin 6 7 ) 4 3 2222 45； (sin 9) (sin 2 9 )(sin 3 9 )(si
7、n 8 9 ) 4 3 照此规律， 2222_. (sin 2n1) (sin 2 2n1) (sin 3 2n1) (sin 2n 2n1) (1)C C (2)n(n1) (1)数列在数列中是第 123m项，当 4 3 m m1 mm1 2 m5 时，即 是数列中第 15 项，则第 20 项是 ，故选 C. 5 6 5 7 (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的 是个固定数， 后面第一个数是等式 4 3 4 3 左边最后一个数括号内角度值分子中 的系数的一半， 后面第二个数是第一个数的下一 4 3 个自然数，所以，所求结果为 n(n1)，即n(n1) 4 3 4 3 规律方法 1.
8、常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类： (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项 及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等； (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理 得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性 2归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质； (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 变式训练 1 (1)已知x(0，)，观察下列各式： x 2，x 3，x 4，类比得 1 x 4 x2 x 2 x 2 4 x2 27 x3 x 3 x 3 x 3 27 x
9、3 xn1(nN N*)，则a_. a xn (2)下面图形由小正方形组成，请观察图 641(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出 第n个图形中小正方形的个数是_. 【导学号：66482303】 图 641 (1)nn(nN N*) (2)(nN N*) (1)第一个式子是n1 的情况，此时 nn1 2 a111；第二个式子是n2 的情况，此时a224；第三个式子是n3 的情况，此时 a3327，归纳可知ann. (2)由题图知第n个图形的小正方形个数为 123n.所以总个数为 (nN N*) nn1 2 类比推理 (1)(2016陕西师大附中模拟)若数列an是等差数列，则数列bn 也是等差
10、数列，类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且 (bn a1a2an n ) dn也是等比数列，则dn的表达式应为( ) Adn Bdn c1c2cn n c1c2cn n Cdn Ddn n cn1cn2cn n n n c1c2cn (2)(2016贵州六校联考)在平面几何中，ABC的C的平分线CE分AB所成线段的 比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图 642)，DEC平分二面角 AC BC AE BE ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_. 【导学号：66482304】 图 642 (1)D D (2) (1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数
11、可 AE EB SACD SBCD 以类比几何平均数，故dn的表达式为dn. n c1c2cn 法二：若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1 nn1 2 dna1 ，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则 n1 2 d 2 d 2 c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q n1n1 nn1 2 n c1c2cn ，即dn为等比数列，故选 D. n1 2 (2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得. AE EB SACD SBCD 规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比， 提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键 2类比推理常见的情形有
12、：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列 类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)数的运算与向量运算类比；圆 锥曲线间的类比等 变式训练 2 给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R R 为实数集，C C 为复数集)： “若a，bR R，则ab0ab”类比推出“a，cC C，则ac0ac” ； “若a，b，c，dR R，则复数abicdiac，bd”类比推出 “a，b，c，dQ Q，则abcdac，bd” ； 22 “a，bR R，则ab0ab”类比推出“若a，bC C，则ab0ab” ； “若xR R，则|x|11x1”类比推出“若zC C，则|z|11z1.” 其中类
13、比结论正确的个数为( ) A1 B2 C3 D4 B B 类比结论正确的有. 演绎推理 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN N*)证明： n2 n (1)数列是等比数列； Sn n (2)Sn14an. 【导学号：66482305】 证明 (1)an1Sn1Sn，an1Sn， n2 n (n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn. 2 分 2，又10，(小前提) Sn1 n1 Sn n S1 1 故是以 1 为首项，2 为公比的等比数列(结论) Sn n (大前提是等比数列的定义，这里省略了)5 分 (2)由(1)可知4(n2)， Sn1 n1 Sn1 n1
14、Sn14(n1)4Sn1 Sn1 n1 n12 n1 4an(n2)，(小前提)8 分 又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提) 对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12 分 规律方法 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M的所 有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问 题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论 变式训练 3 如图 643 所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA， 且DEBA.求证：EDAF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过 程用简略的形式表示出来). 图 643 【导学号：66482306】 证明 (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) BFD与A是同位角，且BFDA，(小前提) 所以DFEA.(结论)5 分 (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DEBA且DFEA，(小前提) 所以四边形AFDE为平行四边形(结论)8 分 (3)平行四边形
