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1、14.2 矩阵与变换,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,知识梳理,a11b11a12b21,_.,(4)两个二阶矩阵的乘法满足 律，但不满足 律和 律. 即(AB)CA(BC)， ABBA， 由ABAC不一定能推出BC. 一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的 与后一个矩阵的 相等时才能进行乘法运算.,结合,交换,消去,列数,行数,2.常见的平面变换,3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是 ，B称为A的 ； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1. 4.特征值与特征向量 设A是一个二
2、阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个 ，而称为A的属于特征值的一个 .,可逆的,逆矩阵,特征值,特征向量,5.特征多项式 设A 是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f() ，称为A的特征多项式.,2(ad)adbc,考点自测,解答,解答,解答,10，23. M的特征值为0和3.,题型分类 深度剖析,题型一 矩阵与变换,例1 已知a，b是实数，如果矩阵M 所对应的变换将直线 xy1变换成x2y1，求a，b的值.,解答,因为点(x，y)在直线x2y1上，,已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解.,思维升华,跟踪训练1 二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与
3、(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2). (1)求矩阵M；,解答,(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：xy4，求l的方程.,解答,且m：xy4， 所以(x2y)(3x4y)4， 整理得xy20， 所以直线l的方程为xy20.,题型二 求逆矩阵,(1)求A的逆矩阵A1；,解答,(2)求矩阵C，使得ACB.,解答,由ACB得(A1A)CA1B，故,求逆矩阵的方法 (1)待定系数法,思维升华,解答,题型三 特征值与特征向量,例3 (2016南京质检)已知矩阵A的逆矩阵A1 . (1)求矩阵A；,因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵， 且|A1|221130，,解答,(2)求矩阵A1的特征值以及属于
4、每个特征值的一个特征向量.,解答,思维升华,(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量.,跟踪训练3 已知矩阵A ，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3). (1)求实数a的值；,解答,(2)求矩阵A的特征值及特征向量.,解答,解得A的特征值为1或3.,课时作业,1.已知A ，求A的特征值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是 ，求矩阵A.,解答,1,2,3,4,5,6,7
5、,8,9,10,5.曲线C1：x22y21在矩阵M 的作用下变换为曲线C2，求C2的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P(x，y)为曲线x22y21上与P对应的点，,因为P是曲线C1上的点， 所以C2的方程为(x2y)22y21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.(2015江苏)已知x，yR，向量 是矩阵A 的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由已知，得A2，,从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)， 所以矩阵A的另一个特征值为1.,1,2,3,4
6、,5,6,7,8,9,10,7.设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，证明A的逆矩阵是唯一的.,设B1，B2都是A的逆矩阵，则 B1AAB1E2，B2AAB2E2， 从而B1E2B1(B2A)B1B2(AB1)B2E2B2. 即B1B2.故A的逆矩阵是唯一的.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.(2016苏中四校联考)求曲线|x|y|1在矩阵M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设点(x0，y0)为曲线|x|y|1上的任一点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.设数列an，bn满足an12an3bn，bn12bn，且满足 求二阶矩阵M.,，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(1)求满足条件AMB的矩阵M；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2y21变换为曲线C，求曲线C的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
