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1、7.3 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 . (2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都 ，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的 即可判断
2、AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.,知识梳理,平面区域,不包括,包括,实线,相同,符号,2.线性规划相关概念,一次,最大值,最小值,一次,线性约束条件,可行解,最大值,最小值,最大值,最小值,3.重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.,1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方； (2)当B
3、(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方. 2.最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.( ) (2)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方. ( ) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.( ),(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0
4、表示.( ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的.( ) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( ) (7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.( ),考点自测,1.(教材改编)已知点A(1,0)，B(2，m)，若A，B两点在直线x2y30 的同侧，则m的取值集合是_.,答案,解析,因为A，B两点在直线x2y30的同侧， 所以把点A(1,0)，B(2，m)代入可得x2y3的符号相同，,即(1203)(22m3)0，解得m .,2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是_.,答案,解析,不等式y2x1表示直线y2x1下方
5、的平面区域及直线上的点，不等式x2y4表示直线x2y4上方的平面区域，,所以这两个平面区域的公共部分就是 所表示的平面区域.,3.(2016北京改编)若x，y满足 则2xy的最大值为_.,答案,解析,4,不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.,令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移， 当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，,所以A点坐标为(1,2)，可得2xy的最大值为2124.,几何画板展示,4.(教材改编)若 则zxy的最大值为_.,答案,解析,1,根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).,令z0，作直线l：yx0.当直线l向下平移时，所对应的zxy的函数
6、值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，zxy取得最大值.顶点M是直线xy1与直线y0的交点，,解方程组,得顶点M的坐标为(1,0)，代入zxy，得zmax1.,几何画板展示,5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求 可用不等式组表示为 (用x，y分别表示生产A，B产品 的吨数，x和y的单位是百吨).,答案,解析,用表格列出各数据,所以不难看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.,题
7、型分类 深度剖析,题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题 例1 (1)不等式组 所表示的平面区域的面积等于_.,答案,解析,由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，,A(0， )，B(1,1)，C(0,4)，,则ABC的面积为,(2)(教材改编)画出二元一次不等式组 表示的平面区域.,解答,先画出直线xy50(画成虚线)， 原点不在xy50表示的平面区域内， 即xy50表示直线xy50左上方点的集合， 同理可得：xy0表示直线xy0上及其右上方点 的集合，x3表示直线x3上及其左边的点的集合. 故此二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影 部分所示.,
8、取O(0,0)代入xy550，,命题点2 含参数的平面区域问题 例2 (1)(2015重庆改编)若不等式组 表示的平面区域为 三角形，且其面积等于 ，则m的值为_.,答案,解析,1,不等式组表示的平面区域如图，,则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB ，C点横坐标xC2m，,又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.,m1或m3，,(2)若不等式组 所表示的平面区域被直线ykx 分为面积 相等的两部分，则k的值是_.,答案,解析,不等式组表示的平面区域如图所示.,由于直线ykx 过定点 . 因此只有直线过AB中点时，直线ykx 能平分平面区域.,因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D .
9、,几何画板展示,(1)求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.,思维升华,跟踪训练1 (1)若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件 则实数m的最大值为_.,答案,解析,1,在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及 所表示的平面区域，如图阴影部分所示.,由
10、图可知，当m1时， 函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件， 故m的最大值为1.,几何画板展示,(2)(2016江苏徐州四校模拟)若不等式组 表示的平面区域是 一个三角形及其内部，则a的取值范围是_.,答案,解析,5,7),不等式xy50和0x2表示的平面区域如图所示.,因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5a7.,题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值 例3 (2016全国丙卷)若x，y满足约束条件 则zxy的最 大值为_.,答案,解析,满足约束条件 的可行域为以 A(2，1)，B(0,1)， 为顶点的 三角形内部及边界，,则yxz过点
11、 时取得最大值 .,命题点2 求非线性目标函数的最值,解答,例4 实数x，y满足,(1)若z ，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；,几何画板展示,由 作出可行域，,如图中阴影部分所示.,z 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，,因此 的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在).,由 得B(1,2)，,kOB 2，即zmin2，,z的取值范围是2，).,(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.,解答,zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.,由 得A(0,1)，,
12、z的取值范围是1,5.,引申探究 1.若z ，求z的取值范围.,解答,z 可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率.,z的取值范围是(，0.,2.若zx2y22x2y3.求z的最大值、最小值.,解答,zx2y22x2y3 (x1)2(y1)21， 而(x1)2(y1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2， (01)2(21)22，,zmax213，zmin 1 .,命题点3 求参数值或取值范围 例5 (1)(2015山东改编)已知x，y满足约束条件 若zaxy的 最大值为4，则a的值为_.,答案,解析,2,不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.,易知A(2,0)，
13、,由 得B(1,1).,由zaxy，得yaxz. 当a0时，zaxy在A(2,0)处取得最大值，z2a4，a2，满足题意.,当a0时，显然不满足题意；,(2)已知a0，x，y满足约束条件 若z2xy的最小值为1， 则a_.,答案,解析,作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).,易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，,zmin22a1，解得a .,(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义： 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离， 表示点(x，y)与点(a，b)的距离； 表示点
14、(x，y)与原点(0,0)连线的斜率， 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.,思维升华,跟踪训练2 (1)(2016江苏大港中学质检)设m1，在约束条件 下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为_.,答案,解析,3,作出可行域.,把目标函数化为y ，显然只有y 在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，,代入目标函数，,解得m3.,(2)(2016江苏天一中学月考) 已知x，y满足约束条件 如果(2， ) 是zaxy取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,画出可行域如图，将目标函数化为直线的斜截式方程yaxz， 当目标函数的斜率大于等于3yx2的斜率时， 直线yaxz在点(2， )处截距最小，,即a 时，(2， )是目标函数
