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1、第15讲 一次函数与反比例函数的应用,内容索引,基础诊断 梳理自测，理解记忆,考点突破 分类讲练，以例求法,易错防范 辨析错因，提升考能,基础诊断,返回,知识梳理,1,1.一次函数的应用 利用一次函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题 2.应用一次函数解决实际问题的步骤 (1)认真审题，准确理解题意，领悟其数学实质； (2)舍弃与解题无关的非本质因素，将问题简单化； (3)抽象、归纳其中的数量关系，建立一次函数数学模型； (4)根据所建立的数学模型，解出模型的数学结果； (5)“翻译”回到实际问题，得到实际问题的答案,3.一次函数ykxb
2、(b0)的自变量x的取值范围 一次函数ykxb(b0)的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因此没有最大值与最小值，但在实际问题中得到的一次函数解析式自变量的取值范围一般受到限制，则图象为线段或射线，根据一次函数的性质，此时就存在最大值或最小值范围 4.一次函数与一次方程、一次不等式间的关系 (1)已知一次函数ykxb的函数值为h，求自变量x的值，就是解一元一次方程kxbh；反过来，解一元一次方程kxbh，就是把一次函数ykxbh的函数值看做0，求自变量x的值,(2)“一元一次不等式”实际上是指一次函数的函数值“y0，y0或y0，y0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况
3、 5.应用反比例函数解题的注意事项 (1)要注意自变量取值范围符合实际意义； (2)确定反比例函数之前一定要考察两个变量与定值之间的关系，若k未知时，应首先由已知条件求出k值 (3)求“至少”，“最多”时可根据函数性质得到,1.(2015徐州)若函数ykxb的图象如图所示，则关于x的不等式k(x3)b0的解集为( ) A.x2 C.x5,诊断自测,2,1,2,3,C,解析 一次函数ykxb过点(2,0)， 2kb0，b2k，y随x的增大而减小，k0， 移项，得kx3kb，即kx5k， 两边同时除以负数k，得x5.,2.(2016天津一模)如图，反比例函数y1 的图象与正比例函数y2k2x的图象
4、交于点(2,1)，则使y1y2的x的取值范围是( ),D,解析 反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， A、B两点关于原点对称， A(2,1)，B(2，1)， 由函数图象可知，当0x2或x2时函数y1的图象在y2的上方， 使y1y2的x的取值范围是x2或0x2.,1,2,3,A.0x2 B.x2 C.x2或2x0 D.x2或0x2,3.(2015铁岭)一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S(km)与慢车行驶时间t(h)之间的函数图象如图所示，下列说法： 甲、乙两地之间的距离为560km； 快车速度是慢车速度的1.
5、5倍； 快车到达甲地时，慢车距离甲地60km； 相遇时，快车距甲地320km 其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,B,1,2,3,解析 由图象可得，甲乙两地之间的距离为560km，故正确； 由图象可得，慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始 增大直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经 过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的 速度之比为34，故错误； 设慢车速度为3xkm/h，则快车速度为4xkm/h， 有(3x4x)4560，解得x20， 故快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h. 由图象
6、可得，快车和慢车相遇地离甲地的距离为460240km，故错误； 当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为2403 6060km，故正确,1,2,3,返回,考点突破,返回,例1 (2016湘西)某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同 (1)求甲、乙每个商品的进货单价；,考点一,一次函数与实际问题,答案,(2)若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问
7、有哪几种进货方案？,答案,(3)在条件(2)下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？,答案,规律方法,本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式组、一次函数的性质，正确求得甲进货数量的范围，利用一次函数性质得出最佳进货方案，解答时求出函数的解析式是关键,规律方法,练习1,答案,(2016湖州)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老 中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加 (1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求 该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率；,解
8、 设该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增 长率为x， 由题意可列出方程：2(1x)22.88， 解得：x10.220%，x22.2(不合题意，舍去) 答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%.,练习1,答案,(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t. 若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t
9、的值；,解 设规划建造单人间的房间数为t(10t30)，则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为1003t， 由题意得：t22t3(1003t)200，解得：t25.,练习1,答案,(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t. 求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？,解 设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
10、由题意得：yt4t3(1003t)4t300(10t30)， k40，y随t的增大而减小 当t10时，y的最大值为300410260(个)， 当t30时，y的最小值为300430180(个) 答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个,一次函数与一次方程、一次不等式,考点二,例2 (2016桂林)如图，直线yaxb过点A(0,2)和点B(3,0)，则方程axb0的解是( ) A.x2 B.x0 C.x1 D.x3,分析 方程axb0的解，即为函数yaxb图象与x轴交点的横坐标， 直线yaxb过B(3,0)， 方程axb0的解是x3.,D,答案,规律方法,分析,本题考
11、查了一次函数与一次方程之间的关系，解决此类问题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合,规律方法,(2015甘南)如图，直线ykxb经过A(2,1)，B(1，2)两点，则不等式 xkxb2的解集为( ) A.x2 B.x1 C.x1或x2 D.1x2,练习2,答案,D,考点三 一次函数与几何图形综合问题,答案,答案,规律方法,规律方法,本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式和解一元二次方程的有关知识，解决这类问题常用到方程和转化等数学思想方法,规律方法,练习3,答案,分析,分析,考点四 一次函数与反比例函数的综合,例4 (2015衢州)如图，已知点A(a,3)是
12、一次函数图象y1xb与反比例函数y2 图象的一个交点 (1)求一次函数的解析式；,答案,解 点A(a,3)在反比例函数y2 图象上， 3 ，解得a2，A(2,3) 点A(2,3)在一次函数图象y1xb图象上， 32b，解得b1， 一次函数的解析式为y1x1.,(2)在y轴的右侧，当y1y2时，直接写出x的取值范围,答案,解 在y轴的右侧，当y1y2时，x的取值范围为x2.,探究提高,本题考查反比例函数和一次函数综合问题；用待定系数法确定函数解析式，根据双曲线上点的坐标与方程的关系确定交点坐标考生要注意数形结合思想，观察与理解函数的图象，根据图象直接写出函数值的取值范围，问题比较典型,探究提高,
13、如图，双曲线y (x0)经过OAB的顶点A和OB的中点C，ABx轴， 点A的坐标为(2,3) (1)确定k的值；,练习4,答案,解 将点A(2,3)代入解析式y ，得k6.,(2)若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD的解析式；,练习4,答案,(3)计算OAB的面积,练习4,答案,返回,易错防范,返回,易错警示系列 15,看懂图形所要表达的意思后再解答问题,试题 如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象两地间的距离是80千米请你根据图象回答或解决下面的问题： (1)谁出发得较早？早多长时间？谁到达乙地 较早？早到多少时间？ (2)两人在途中行驶的速度分别是多少
14、？几小 时后两人在途中相遇？ (3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围),错误答案展示 解：(1)摩托车出发较早，早3个小时；摩托车到达乙地较早，早3个小时 (2)自行车的行驶速度为：80810(千米/小时)； 摩托车的行驶速度为：80240(千米/小时)； 4小时后两车在途中相遇 (3)设自行车由甲地到乙地行驶过程的函数解析式为y1k1x. 当x8时，y80，808k1，k110， 自行车行驶过程的函数解析式为y110x； 设摩托车由甲地到乙地行驶过程的函数解析式为y2k2x，,剖析 由图可知，自行车由甲地到乙地行驶过程的函数是正比例函数，而摩托车
15、由甲地到乙地行驶过程的函数是一次函数，不是正比例函数，往往很多同学不注意，把摩托车由甲地到乙地行驶过程的函数也当作是正比例函数，从而错误,正确解答,分析与反思,剖析,正确解答,分析与反思,正确解答 解：(1)由图可知，自行车出发得较早，早3个小时；摩托车到达乙地较早，早到3个小时 (2)自行车行驶的速度为：80810(千米/小时)； 摩托车行驶的速度为：80(53)40(千米/小时)； 骑自行车者出发4小时后两人在途中相遇 (3)设自行车由甲地到乙地行驶过程的函数关系式是y1k1x，当x8时，y80，则808k1，k110，y110x； 设摩托车由甲地到乙地行驶过程的函数关系式是y2k2xb2，当x3时，y0；当x5时，y80，,分析与反思 认真审题，提高识图能力，由图可知，自行车由甲地到乙地行驶过程的函数是正比例函数，其函数关系式应该是y1k1x，而摩托车由甲地到乙地行驶过程的函数是一次函数，其函数关系式应该是y2k2xb2，切不可以混淆,返回,
