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1、8.4 直线、平面垂直的判定与性质,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与平面垂直. (2)判定定理与性质定理,知识梳理,相交,a，b,abO,la,lb,任意一条,平行,a,b,2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线与 所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，若一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是 的角. (2)范围：0， .,它在这个平面内的射影,直角,0,3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：一
2、条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角； 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理,垂线,交线,重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条
3、直线与另一个平面也垂直.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)直线a，b，则ab.( ) (4)若，aa.( ) (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.( ),考点自测,1.(教材改编)下列命题中正确的是_. 如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面； 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面； 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面； 如果平面平面，平面平面，l，那么l.,答案,解析,根据面面垂直的性质，知不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面
4、内，正确.,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件.,答案,解析,充分不必要,若，因为m，b，bm， 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b， 又a，所以ab； 反过来，当am时，因为bm， 且a，m共面，一定有ba， 但不能保证b，所以不能推出.,3.(2016宿迁质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题： 若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD； 若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD. 其中为真命题的是_.,答案,解析,如图，取BC的中点M，连结AM，DM， 由ABACAM
5、BC， 同理DMBCBC平面AMD， 而AD平面AMD， 故BCAD. 设A在平面BCD内的射影为O， 连结BO，CO，DO， 由ABCDBOCD， 由ACBDCOBDO为BCD的垂心DOBCADBC.,4.(2016徐州模拟)、是两个不同的平面，m、n是平面及平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.,答案,可填与中的一个,5.(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心.,答案,解析,外,如图1，连结OA，OB，OC，OP， 在RtPOA
6、、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以OAOBOC， 即O为ABC的外心.,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,垂,答案,解析,如图2，延长AO，BO，CO，分别交BC，AC，AB于H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB， 又ABPO，POPCP，AB平面PGC， 又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB的高. 同理可证BD，AH为ABC底边上的高， 即O为ABC的垂心.,题型分类 深度剖析,题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E
7、，F分别在AD，CD上，AECF ，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.OD . 证明：DH平面ABCD.,证明,由已知得ACBD，ADCD.,又由AECF得 ，故ACEF.,因此EFHD，从而EFDH.,由AB5，AC6得DOBO 4.,由EFAC得 .,所以OH1，DHDH3. 于是DH2OH2321210DO2，故DHOH. 又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD， 所以DH平面ABCD.,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直
8、的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,思维升华,跟踪训练1 (2015江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面AA1C1C；,证明,由题意知，E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DEAC. 又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C， 所以DE平面AA1C1C.,(2)BC1AB1.,证明,因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC. 因为AC平面ABC，所以ACCC1. 又因为ACBC，CC
9、1平面BCC1B1， BC平面BCC1B1，BCCC1C， 所以AC平面BCC1B1. 又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC. 因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C. 因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC. 又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.,题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点. (1)求证：CE平面PAD；,证明,方法一 取PA的中点H，连结EH，DH. 又E为PB的中点，,所以EH綊
10、AB.,又CD綊 AB，,所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH. 又DH平面PAD，CE平面PAD. 所以CE平面PAD.,方法二 连结CF. 因为F为AB的中点，,所以AF AB.,又CD AB，,所以AFCD. 又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形. 因此CFAD，又CF平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD.,因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA. 又EF平面PAD，PA平面PAD， 所以EF平面PAD. 因为CFEFF，故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF，所以CE平面PAD.,(2)求证：平面EFG平面EMN.,证明,因为E、
11、F分别为PB、AB的中点，所以EFPA. 又因为ABPA， 所以EFAB，同理可证ABFG. 又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG. 所以AB平面EFG. 又因为M，N分别为PD，PC的中点， 所以MNCD，又ABCD，所以MNAB， 所以MN平面EFG. 又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.,引申探究 1.在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.,证明,因为ABPA，ABAC， 且PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以AB平面PAC. 又MNCD，CDAB，所以MNAB， 所以MN平面PAC. 又MN平面EMN， 所以平面EMN平面PAC.,2.在本例条
12、件下，证明：平面EFG平面PAC.,证明,因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点， 所以EFPA，FGAC， 又EF平面PAC，PA平面PAC， 所以EF平面PAC. 同理，FG平面PAC. 又EFFGF， 所以平面EFG平面PAC.,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,思维升华,跟踪训练2 (2016江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.
13、 求证：(1)直线DE平面A1C1F；,证明,由已知，DE为ABC的中位线， DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1， DEA1C1， 又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， DE平面A1C1F.,(2)平面B1DE平面A1C1F.,证明,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面A1B1C1， AA1A1C1， 又A1B1A1C1， 且A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面ABB1A1， A1C1平面ABB1A1， B1D平面ABB1A1，A1C1B1D， 又A1FB1D， 且A1FA1C1A1，A1F，A1C1平面A1C1F， B1D平面A1C1F， 又B1D平面B1DE，
14、平面B1DE平面A1C1F.,题型三 垂直关系中的探索性问题 例3 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC. (1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；,证明,在三棱台ABCDEF中， ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE， DF平面ACE. 又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa， DFa.,(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由.,解答,线段BE上存在点G，且BG BE，使得平面DFG平面CDE.,证明如下： 取CE的中点O，连结FO并延长交BE于点G， 连结GD，GF CFEF，GFCE. 在三棱台ABCDEF中，ABBCDEEF. 由CF平面DEFCFDE. 又CFEFF， DE平面CBEF，DEGF.,GF平面CDE.,又GF平面DFG，平面DFG平面CDE. 此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H， O为C
