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1、第4讲 二次函数,1.通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义. 2.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次,函数的性质.,3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 ya(x h)2 k(a0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐 标、开口方向， 画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.,4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.,(续表),(续表),(续表),(续表),(续表),二次函数的图象和性质 例：(2016 年天津)已知二次函数 y(xh)21(h 为常数)， 在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y,的最小值为 5，则 h 的值为
2、( A.1 或5 C.1 或3,) B.1 或 5 D.1 或 3,思路分析由解析式可知该函数在 xh 时取得最小值 1、 xh 时，y 随 x 的增大而增大、当 xh 时，y 随 x 的增大而减 小，根据 1x3 时，函数的最小值为 5 可分两种情况：若 h1x3，当 x1 时，y 取得最小值 5；若 1x3h， 当 x3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可. 解析：当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当xh 时，y,随 x 的增大而减小，,若 h1x3，x1 时，y 取得最小值 5. 可得(1h)215.解得 h1 或 h3(舍去)；,若 1x3h，当 x3 时，
3、y 取得最小值 5. 可得(3h)215，解得 h5 或 h1(舍去). 综上所述，h 的值为1 或 5. 答案：B,名师点评本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二,次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.,【试题精选】,1.二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图 3-4-1，下列结 论：b24ac0；4ac2b；(ac)2b2；ax2bx ab.其中结论正确的是_.,图 3-4-1,答案：,2.二次函数 yx22x3 的图象如图 3-4-2，下列说法中错,误的是(,),图 3-4-2 A.函数图象与 y 轴的交点坐标是(0，3) B.顶点坐标是(1，3) C.函数图象与 x 轴的交点坐
4、标是(3,0)，(1,0) D.当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 答案：B,解析：二次函数 y(x1)25 的大致图象如下：,图 D13,当m0xn1时，当xm时y取最小值， 即2m(m1)25， 解得m2. 当xn时，y取最大值，即2n(n1)25， 解得n2或n2(均不合题意，舍去)；,当m0x1n时，当xm时y取最小值， 即2m(m1)25， 解得m2. 当x1时，y取最大值，即2n(11)25，,故选 D.,答案：D,确定二次函数的关系式,4. 若抛物线 y ax2bx c 的顶点是 A(2,1) ，且经过点,B(1,0)，则抛物线的函数关系式为 y_.,答案：x24x3,5.抛
5、物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于 A(4,0)，B(2,0)，,与 y 轴交于点 C(0,2).求抛物线的解析式.,解：设这条抛物线的解析式为 ya(x4)(x2)， 根据题意，得 2a(04)(02).,6.(2016年内蒙古)已知抛物线yx2bxc经过点 A(3,0)，B(1,0). (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标. 解：(1)抛物线 yx2bxc 经过点 A(3,0)，B(1,0)，,抛物线解析式为yx22x3. (2)yx22x3(x1)24， 抛物线的顶点坐标为(1,4).,7.(2016 年四川内江)如图3-4-3，已知二次函数 yax2bx c 的图
6、象过 A(2,0)，B(0，1)和 C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与 x 轴的另一 个交点为 D，求点 D 的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线 yx1， 并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的,值大于二次函数的值？,图 3-4-3,解：(1)二次函数的图象过 B(0，1)， 二次函数解析式为 yax2bx1. 二次函数的图象过 A(2,0)和 C(4,5)两点，,解得 x2 或 x1. D(1,0).,(3)如图 D14，当1x4 时，一次函数的值大于二次函,数的值.,图 D14, 解题技巧(1) 当已知抛物线上三点求二次函数的解析式,时，一般采用
7、一般式yax2bxc(a0)；,(2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求解,析式时，一般采用顶点式ya(xh)2k；,(3)当已知抛物线与 x 轴的交点坐标求二次函数的解析式,时，一般采用两根式ya(xx1)(xx2).,二次函数的综合运用,8.(2016 年福建)已知抛物线 y(xm)2(xm)，其中 m 是,常数.,(1)求证：不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共,点；,求该抛物线的函数解析式；,把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的,抛物线与 x 轴只有一个公共点？,该抛物线的函数解析式为yx25x6； 设把该抛物线沿y轴向上平移n个单位长度，
8、则yx25x6n. 抛物线yx25x6n与x轴只有一个公共点，,1.(2014 年广东)二次函数 yax2bxc(a0)的大致图象,),如图 3-4-4，关于该二次函数，下列说法错误的是( A.函数有最小值,图 3-4-4,D.当1x2 时，y0 答案：D,2.(2013年广东)已知二次函数yx22mxm21. (1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0)时，求二次函数 的解析式； (2)如图 3-4-5，当 m2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为点 D，求 C，D 两点的 坐标； (3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P， 使得 PCPD 最短？若点 P 存在，求出点 P
9、,的坐标；若点 P 不存在，请说明理由.,图 3-4-5,解：(1)二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)， 代入二次函数yx22mxm21，得m210. 解得m1. 二次函数的解析式为yx22x或yx22x. (2)m2， 由二次函数yx22mxm21，得yx24x3(x2)21. 抛物线的顶点为D(2，1). 当x0时，y3.C点坐标为(0,3). C(0,3)，D(2，1).,(3)如图 D15，当 P，C，D 共线时 PCPD 最短， 过点 D 作 DEy 轴于点 E，,图 D15,轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C(3,0)
10、. (1)求直线 AB 的函数关系式； (2)动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度 向点 C 移动，过点 P 作 PNx 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物 线于点 N.设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长度为 s 个单位， 求 s 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；,(3)设在(2)的条件下(不考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况)， 连接 CM，BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平行四边形？ 问对于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？请说明理由.,图 3-4-6,图 3-4-7,P(1,2)，把(1,2)代入 ykx1，得 k1.,(2)如图 D16，连接 PO，QO，PQ，作 PA y 轴于点 A，,QBx 轴于点 B，则 PA 1，OA2，,图 D16,点 Q 与点 P 关于直线 yx 成轴对称， 直线 yx 垂直平分 PQ. OPOQ.,POAQOB.,在OPA 与OQB 中，,POAQOB.,QBPA 1，OBOA2. Q(2,1).,(3)设抛物线的解析式为yax2bxc，得,
