《同济大学高等数学第七版§1.10__闭区间上连续函数性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高等数学第七版§1.10__闭区间上连续函数性质（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十节,一、最值定理,二、零点定理与介值定理,闭区间上连续函数的性质,一、最大值与最小值,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,函数f(x)=1+sin x在区间0，2p上有最大值2和最小值0,函数f(x)=sgn x 在区间(-，+)内有最大值 1和最小值-1,一、最大值与最小值,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)，
2、则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,举例 ：,一、最大值与最小值,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,在开区间(0，+)内，sgn x的最大值和最小值都是1,举例 ：,但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值,一、最大值与最小值,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函
3、数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,举例 ：,注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，那么至少有一点x1a，b，使f(x1)是f(x)在a，b上的最大值，又至少有一点x2a，b，使f(x2)是f(x)在a，b上的最小值,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值 和最小值,注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,在开区间(a，b) 考察函数y=x,函数f(x)=x在开区间(a，b) 内既无最大值又无最小值,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值 和
4、最小值,注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值 和最小值,在闭区间0，2 考察函数,函数 y=f(x)在开区间0，2 内既无最大值又无最小值,证明 设函数f(x)在闭区间a，b上连续由定理1，函数f(x)在区间a，b上有最大值M 和最小值m ，使任一x a，b满足 mf(x)M 上式表明，f(x)在a，b上有上界M和下界m ，因此函数f(x)在a，b上有界,定理1（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的
5、函数在该区间上一定有最大值 和最小值,二、零点定理与介值定理,注: 1. 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点,几何解释,定理2(零点定理),使得,二、零点定理与介值定理,定理2(零点定理),使得,例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则 f(x)C0 1 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根据零点定理 在(0 1)内至少x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x ,12,定理3(介值定理),设函数 f(x)在闭区间a b上连续,
6、且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a b)内至少有一点x 使得,几何意义:,连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点,13,定理3(介值定理),证,零点定理,设函数 f(x)在闭区间a b上连续,且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a b)内至少有一点x 使得,设j(x)=f(x)-C 则j(x)在闭区间a b上连续,14,几何意义:,之间的任何值(不会有任何遗漏).,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,与最小值,15,例,证,由零点定理,16,注意条件 1. 闭区间; 2. 连续函数,这两点不满足上述定理不一定成立,三、小结,最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.,四个定理,
