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1、第一章 计数原理1两个计数原理的灵活应用计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类计数原理和分步计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观下面通过典例来说明.1.列举法例1某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有_种解析依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；若买8个鼠标，则可买键盘3个；若买9
2、个鼠标，则可买键盘3个根据分类计数原理，不同的选购方式共有322119(种)答案9点评本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律2树形图法例2甲、乙、丙三人传球，从甲开始传出，并记为第一次，经过5次传球，球恰好回到甲手中，则不同的传球方法的种数是_解析本题数字不大，可用树形图法，结果一目了然如下图，易知不同的传球方法种数为10.答案10点评应用两个计数原理时，如果涉及的问题较抽象，且数量不太多时，可以用树状结构直观体现3列表法例3四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写
3、的贺年卡，共有多少种不同的取法？解把四个人分别编号、，他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：四个人取贺年卡的方法222333444134144133441412212313221321方法编号123456789由表格可知，共有9种不同的方法点评本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决4直接法例4已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl分子和NaOH分子？解因为HCl分子由两个原子构成，所以分两步完成：第1步，选择氢原子，共有3种；第2步，选择氯原子，共有2种由分步计
4、数原理得共有6种HCl分子同理，对于NaOH而言，分三步完成：第1步，选择钠原子，有3种选法；第2步，选择氧原子，有4种选法；第3步，选择氢原子，有3种选法由分步计数原理知，共有NaOH分子种数为34336(种)点评当问题情景中的规律明显，已符合分类计数原理或分步计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题.2排列、组合的破解之术排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后计算就可说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻
5、，很长时间也理不顺思路下面就来谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！1特殊元素优先法对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑例1将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i1,2，6)，若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有_种解析由题意，a11，a33，a55，a1a3a5.第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5种方法；第二步，再排a2，a4，a6，有A种方法由分步计数原理得，不同的排列方法有5A30(种)答案302相邻问题捆绑法把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊
6、元素在这些位置上全排列例2记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有_种解析先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步计数原理可得，不同的排法有AAC960(种)答案9603不相邻问题插空法某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间例3高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是_
7、解析先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有A种放法所以两个舞蹈节目不连排的排法共有AA3 600(种)答案3 6004至多至少问题间接法对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数例4从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种解析从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有CA种，故共有ACA36(种)选法答案
8、365多类元素组合分类取出当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计例5如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_种解析如果用两种颜色，则有C种颜色可以选择，涂法有2种如果用3种颜色涂色，有C种颜色可以选择，涂法有CC(C1)18(种)所以，不同涂色种数为C2C18390(种)答案3906排列、组合混合先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列例6某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安
9、排方法共有_种解析首先把5个班分成4组，即2,1,1,1，有种方法然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A种方法由分步计数原理可得不同的安排方法有A240(种)答案2403排列、组合中的“分组”与“分配”辨析分组分配问题在排列组合问题中占有很重要的位置，并且分组分配问题比较复杂，也是大家学习中的一个难点，下面通过实例来剖析各种各样的分组分配问题1互异元素的“均匀分组”例16本不同的书，分成三份，每份2本，共有多少种不同的分法？解因为平均分组与顺序无关，在CCC90种分法中，每一种分法重复出现了A次，只能算作一次如将6本书a，b，c，d，e，f分成ab，cd，ef三组是一种分法，而解答中考
10、虑它们之间的顺序有A种分法，具体如下表.步骤第一组第二组第三组分法1abcdef分法2abefcd分法3cdabef分法4cdefab分法5efabcd分法6efcdab以上的分法，实际上加入了组的顺序性，但像分法1,2,3,4,5,6，实际上是同一种分法，所以要除以A来消除顺序，故共有15种分法2互异元素的“均匀分配”例26本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有多少种不同的分法？解由例1可知，将6本不同的书均匀分成3组，共有种分法，然后将3组书再分配给甲、乙、丙三人，与顺序有关，所以共有ACCC90种分法也可这么理解：先取2本给甲有C种方法，再取2本给乙有C种方法，余下2本给丙有C种
11、方法，取的过程实际已经将书进行了分配，故共有CCC90种分法3互异元素的“非均匀分组”例36本不同的书，分成三份，一份3本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？解先取1本作一堆有C种方法，再取2本作一堆有C种方法，余下3本作一堆有C种方法，由于每组的数目不同，所以不会出现重复的分法，故共有CCC60(种)分法4互异元素的“非均匀分配”例46本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人3本，一人2本，一人1本，共有多少种不同的分法？解先分组，再分配，甲、乙、丙三人得到的书不同(数目不同或数目相同但书不同)应视作是不同的分配方法，所以与顺序有关即：首先，不平均分成三堆有CCC种方法，然后再分给甲、乙
12、、丙三人有A种方法，共有CCCA360(种)分法5互异元素的“部分平均分组”例56本不同的书，分成三份，有两份各1本，另一份4本，共有多少种不同的分法？解三组中有两组是平均分组，这两组是无序的，应对这两组消序故共有15种分法以上五类问题是十分典型的“分组分配”问题，它的每一个小题都是一种类型，我们要认真领会计数时常有下面的结论：“无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀分配”问题列式后，再除以组数的全排列数，对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问题，前者只需分步完成，后者先分组，后排列4“隔板法”在计数问题中的妙用“隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会
13、使很复杂的问题得到巧妙的解决下面剖析一下隔板法适用条件，并选择几个实例来加以说明1隔板法的适用条件排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中(nm)，每个对象至少有一个元素这类问题必须满足三个条件：小球必须相同；盒子必须不同；每个盒子至少有一个小球当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法2隔板法的实际应用应用120个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？解如下图，用“0”表示小球，0000|00000000|00000000在上图中，在0与0之
14、间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有C171种放法点评解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可应用2方程x1x2x3x420的正整数解有多少个？解该问题转化为：将方程左边的x1、x2、x3、x4看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？这样，类似应用1可知，所以共有C969种点评不定方程x1x2x3xmn(n，mN*，nm)的正整数解个数问题可以转化为“将n个相同元素分给m个不同对象(nm)，每个对象至少有一个元素”的模型，进而采用隔板法求解整体概括：通过对隔板法的应用，可得下列结论结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，从n1个间隔中，选出m1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一
