《2019高考数学专题五导数的应用精准培优专练文》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019高考数学专题五导数的应用精准培优专练文(14页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、培优点五 导数的应用1利用导数判断单调性例1:求函数的单调区间【答案】见解析【解析】第一步:先确定定义域,定义域为,第二步:求导:,第三步:令,即,第四步:处理恒正恒负的因式,可得,第五步:求解,列出表格2函数的极值例2:求函数的极值【答案】的极大值为,无极小值【解析】令解得:,的单调区间为:的极大值为,无极小值3利用导数判断函数的最值例3:已知函数在区间上取得最小值4,则_【答案】【解析】思路一:函数的定义域为,当时,当时,为增函数,所以,矛盾舍去;当时,若,为减函数,若,为增函数,所以为极小值,也是最小值;当,即时,在上单调递增,所以,所以(矛盾);当,即时,在上单调递减,所以;当,即时,
2、在上的最小值为,此时(矛盾)综上思路二:,令导数,考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得,因此可假设,分别为函数的最小值点,求出后再检验即可对点增分集训一、单选题1函数的单调递减区间为( )ABCD【答案】A【解析】函数的导数为,令,得,结合函数的定义域,得当时,函数为单调减函数因此,函数的单调递减区间是故选A2若是函数的极值点,则( )A有极大值B有极小值C有极大值0D有极小值0【答案】A【解析】因为是函数的极值点,所以,当时,;当时,因此有极大值,故选A3已知函数在上单调递减,且在区间上既有最大值,又有最小值,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】因为函数在上单调递减,所以
3、对于一切恒成立,得,又因为在区间上既有最大值,又有最小值,所以,可知在上有零点,也就是极值点,即有解,在上解得,可得,故选C4函数是上的单调函数,则的范围是( )ABCD【答案】C【解析】若函数是上的单调函数,只需恒成立,即,故选C5遇见你的那一刻,我的心电图就如函数的图象大致为( )ABCD【答案】A【解析】由,其定义域为,即,则函数为奇函数,故排除C、D,则函数在定义域内单调递减,排除B,故选A6函数在内存在极值点,则( )ABC或D或【答案】A【解析】若函数在无极值点,则或在恒成立当在恒成立时,时,得;时,得;当在恒成立时,则且,得;综上,无极值时或在在存在极值故选A7已知,若函数在区间
4、上单调递减,则实数的取值范围是( )A或B或C或D或【答案】D【解析】因为,函数在区间上单调递减,所以在区间上恒成立,只需,即解得或,故选D8函数在定义域内可导,其图像如图所示记的导函数为,则不等式的解集为( )ABCD【答案】A【解析】由图象知和上递减,因此的解集为故选A9设函数,则( )A在区间,内均有零点B在区间,内均无零点C在区间内有零点,在区间内无零点D在区间内无零点,在区间内有零点【答案】D【解析】的定义域为,在单调递减,单调递增,当在区间上时,在其上单调,故在区间上无零点,当在区间上时,在其上单调,故在区间上有零点故选D10若函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围为( )AB
5、C或D或【答案】D【解析】,函数既有极大值又有极小值,有两个不等的实数根,则或,故选D11已知函数的两个极值点分别在与内,则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由函数,求导,的两个极值点分别在区间与内,由的两个根分别在区间与内,令,转化为在约束条件为时,求的取值范围,可行域如下阴影(不包括边界),目标函数转化为,由图可知,在处取得最大值,在处取得最小值,可行域不包含边界,的取值范围本题选择A选项12设函数在区间上的导函数为,在区间上的导函数为,若在区间上,则称函数在区间上为“凹函数”,已知在区间上为“凹函数”,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】,函数在区间上为“凹函数”
6、,在上恒成立,即在上恒成立在上为单调增函数,故选D二、填空题13函数在区间上的最大值是_【答案】8【解析】,已知,当或时,在该区间是增函数,当时,在该区间是减函数,故函数在处取极大值,又,故的最大值是814若函数在,上都是单调增函数,则实数的取值集合是_【答案】【解析】,函数在,上都是单调增函数,则,即,解得,即,解得,则实数的取值集合是,故答案为15函数在内不存在极值点,则的取值范围是_【答案】或【解析】函数在内不存在极值点在内单调函数或在内恒成立,由在内恒成立,即,同理可得,故答案为或16已知函数, 当时,有最大值; 对于任意的,函数是上的增函数; 对于任意的,函数一定存在最小值; 对于任
7、意的,都有其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)【答案】【解析】由函数的解析式可得:,当时,单调递增,且,据此可知当时,单调递增,函数没有最大值,说法错误;当时,函数,均为单调递增函数,则函数是上的增函数,说法正确;当时,单调递增,且,且当,据此可知存在,在区间上,单调递减;在区间上,单调递增;函数在处取得最小值,说法正确;当时,由于,故,说法错误;综上可得:正确结论的序号是三、解答题17已知函数(1)讨论函数在上的单调性;(2)证明:恒成立【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减;(2)见解析【解析】(1),当时,恒成立,所以,在上单调递增;当时,令,得到
8、,所以,当时,单调递增,当时,单调递减综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减(2)证法一:由(1)可知,当时,特别地,取,有,即,所以(当且仅当时等号成立),因此,要证恒成立,只要证明在上恒成立即可,设 ,则,当时,单调递减,当时,单调递增所以,当时,即在上恒成立因此,有,又因为两个等号不能同时成立,所以有恒成立证法二:记函数,则,可知在上单调递增,又由,知,在上有唯一实根,且,则,即(*),当时,单调递减;当时,单调递增,所以,结合(*)式,知,所以,则,即,所以有恒成立18已知函数,其导函数为(1)当时,若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围;(2)设,点是曲线上的一个定点,是否存在实数使得成立?并证明你的结论【答案】(1)或;(2)不存在,见解析【解析】(1)当时,由题意得,即,令,则,解得,当时,单调递减;当时,单调递增,当时,当时,则或时,在上有且只有一个零点(2)由,得,假设存在,则有,即,即,令,则,两边同时除以,得,即,令,令在上单调递增,且,对于恒成立,即对于恒成立,在上单调递增,对于恒成立,不成立,同理,时,也不成立,不存在实数使得成立14