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1、第3课时 导数的应用(二)极值与最值1函数yx33x29x(2x2)有()A极大值为5,极小值为27B极大值为5,极小值为11C极大值为5,无极小值D极大值为27,无极小值答案C解析y3x26x93(x22x3)3(x3)(x1),y0时,x3或x1.2x0.当x2时, f(x)0,这时f(x)为增函数;当0x2时,f(x)0,得x0,令f(x)0,得x0,则函数f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,f(1)e11,f(1)e1,f(1)f(1)2e2ef(1)故选D.6若函数yax3bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和,则()Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2
2、b0答案D解析y3ax22bx,据题意,0,是方程3ax22bx0的两根,a2b0.7已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3,那么此函数在2,2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对答案A解析f(x)6x212x6x(x2),f(x)在(2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减x0为极大值点,也为最大值点f(0)m3,m3.f(2)37,f(2)5,最小值是37,选A.8若函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值,则()A0b1 Bb1Cb0 Db答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值,则f(x)3x23b在(0,1)上先负后正,f(0)3b0.b0.
3、f(1)33b0,b1.综上,b的取值范围为0b1.9设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x2处取得极小值,则函数yxf(x)的图像可能是()答案C解析由f(x)在x2处取得极小值可知,当x2时,f(x)0;当2x0,则xf(x)0时,xf(x)0.10已知f(x)x3px2qx的图像与x轴相切于非原点的一点,且f(x)极小值4,那么p,q值分别为()A6,9 B9,6C4,2 D8,6答案A解析设图像与x轴的切点为(t,0)(t0),设注意t0,可得出p2t,qt2.p24q,只有A满足这个等式(亦可直接计算出t3)11若函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(
4、x)0成立,则实数a的取值范围为()A2,) B4,)C4 D2,4答案C解析f(x)3ax23,当a0时,f(x)minf(1)a20,a2,不合题意;当01时,f(1)a40,且f()10,解得a4.综上所述,a4.12若f(x)x(xc)2在x2处有极大值,则常数c的值为_答案6解析f(x)3x24cxc2,f(x)在x2处有极大值,解得c6.13(2018河南信阳调研)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10,则f(2)的值为_答案18解析f(x)3x22axb,由题意得即解得或当a3,b3时,f(x)3(x1)20,f(x)无极值当a4,b11时,令f(x)0,得x11
5、,x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,)(,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)x34x211x16,f(2)18.14(2018北京市昌平区一模)若函数f(x)在x1处取得极值,则a_答案3解析f(x),由f(x)在x1处取得极值知f(1)0,a3.15已知函数f(x)lnx,g(x)x3x2x.(1)若m3,求f(x)的极值;(2)若对于任意的s,t,2,都有f(s)g(t),求实数m的取值范围答案(1)f(x)有极小值f(3)1ln3,没有极大值(2)1,)解析(1)f(x)的定义域为(0,),当m3时,f(x)lnx.f(x),f(3)0,当x
6、3时,f(x)0,f(x)是增函数,当0x3时,f(x)0,g(x)在,2上是单调递增函数,g(2)10最大对于任意的s,t,2,f(s)g(t)恒成立,即对任意x,2,f(x)lnx1恒成立,mxxlnx.令h(x)xxlnx,则h(x)1lnx1lnx.当x1时,h(x)0,当0x0,h(x)在(0,1上是增函数,在1,)上是减函数,当x,2时,h(x)最大值为h(1)1,m1,即m1,)16(2018贵州遵义联考)已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时,求函数yf(x)的单调递增区间;(2)在区间1,2内至少存在一个实数x,使得f(x)0,得x,所以函数yf(x)在(,0)与(,
7、)上为增函数,即函数yf(x)的单调增区间是(,0)和(,)(2)f(x)3x22ax3x(xa),当a1,即a时,f(x)0在1,2恒成立,f(x)在1,2上为增函数,故f(x)minf(1)11a,所以11a11,这与a矛盾当1a2,即a3时,若1xa,则f(x)0;若a0.所以当xa时,f(x)取得最小值,因此f(a)0,即a3a310a3103,这与a3矛盾当a2,即a3时,f(x)0在1,2恒成立,f(x)在1,2上为减函数,所以f(x)minf(2)184a,所以184a,满足a3.综上所述,实数a的取值范围为(,)17已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2
8、)求f(x)在区间0,1上的最小值答案(1)减区间(,k1),增区间(k1,)(2)k1时,最小值f(0)k;1k2时,最小值f(k1)ek1;k2时,最小值f(1)(1k)e解析(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0,得xk1.f(x)与f(x)的变化情况如下表:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)ek1所以f(x)的单调递减区间是(,k1),单调递增区间是(k1,)(2)当k10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k;当0k11,即1k0,则下列结论中正确的是()Ax1一定是函数f(x)的极大值点Bx1一定是函数f(x)的极小值点Cx1不是函数f(x)的极值点Dx1不一定是函数f(x)的极值点答案B解析x1时,f(x)0,x1时,f(x)0 Bm1 Dm1答案B解析yexm,则exm0必有根,mex0.3函数f(x),x0,4的最大值是()A0 B.C. D.答案B4函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3时取得极值,则a()A2 B3C4 D5答案D解析f(x)3x22ax3,令f(3)0,得a5.5设aR,若函数yeax3x,xR有大于零的极值点,则()AaCa3答案C