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1、高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 导数的实际应用课堂探究 新人教B版选修2-2探究一 收益(利润)最大问题利用导数解决收益(利润)最大问题，关键是要建立收益(利润)的函数关系式，然后借助导数研究该函数的最大值，注意函数定义域的限制以及实际意义【典型例题1】 某公司准备在两个项目上投资已知在A项目上投资的收益(万元)与投资额(万元)的平方根成正比，且当投资额为9万元时，投资收益为2万元；在B项目上的投资收益g(t)(万元)与投资额t(万元)的关系式是g(t)3ln.已知该公司现准备在两个项目上共投资350万元，试求该公司的最大总收益思路分析：设在A项目上的投资额为x(万元)，则在B项目
2、上的投资额为(350x)万元，然后将收益表示为x的函数再用导数求解解：设该公司在A项目上的投资额为x万元，依题意，在A项目上的收益为f(x)k，又当x9时，f(9)2，即k2，所以k，于是f(x).这时在B项目上的投资额为350x万元，则在B项目上的收益为g(350x)3ln.于是该公司的总收益为h(x)f(x)g(350x)3ln，其中0x350.于是h(x)3，令h(x)0，得15，即x225，当0x225时，h(x)0；当225x350时，h(x)0，所以h(x)在x225处取得极大值，即最大值，最大值为h(225)3ln103ln，故该公司最大总收益为万元探究二 费用最低(用料最省)问
3、题将费用或用料表示为某个变量的函数，然后研究该函数的最值情况多数情况下，用料最省问题会涉及几何体的表面积问题，这时要注意结合平面几何，立体几何中相关的公式求解【典型例题2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值思
4、路分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x).又C(0)8，k40，因此C(x)，而建造费用C1(x)6x，从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)；(2)f(x)6，令f(x)0，即6，得x15，x2(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x10时，f(x)0.故5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570，即当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元探究三 面积、体积最大问题求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键
5、是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解【典型例题3】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积思路分析：可设容器的底面的短边长为x m，那么长边的长以及高就可用x表示出来，从而得到容积与x的函数关系式，然后用导数求得最大值解：设容器底面短边的边长为x m，则另一边长为(x0.5)m，高为3.22x.由题意知x0，x0.50，且3.22x0，0x1.6.设容器的容积为V m3，则有Vx(x0.5)(3.22x)2x32.2x2
6、1.6x(0x1.6)，V6x24.4x1.6.令V0，有15x211x40，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，V(x)0，V(x)为增函数，x(1,1.6)时，V(x)0，V(x)为减函数，V在x(0,1.6)时取极大值V(1)1.8，这个极大值就是V在x(0,1.6)时的最大值，即Vmax1.8，这时容器的高为1.2 m，当高为1.2 m时，容器的容积最大，最大值为1.8 m3.探究四 易错辨析易错点忽视实际问题中变量的取值范围而出错【典型例题4】 某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元市场对此产品的年需
7、求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为：R(x)5xx2(0x5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润y表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)由题意知，成本函数C(x)0.50.25x，yR(x)C(x)(0.50.25x)x2x(0x5)(2)yx，令y0，得x4.75，4.75必为最大值点年产量为475台时，工厂利润最大错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x5的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误正解：(1)利润yR(x)C(x)(2)0x5时，yx24.75x0.5，当x4.75时，ymax10.78(万元)；当x5时，y120.25x120.25510.75(万元)年产量是475台时，工厂所得利润最大
