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1、高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 导数预习导航 新人教B版选修2-2课程目标学习脉络1.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率；2理解瞬时变化率、导数的概念，会用导数的定义求函数的导数；3理解导数的几何意义，并能应用导数的几何意义解决相关问题.1函数的平均变化率一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变化率思考1 在平均变化率中，x，y，是否可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数？提示：x可
2、以为正数，也可以为负数，但x不可以为0，y可以为0；可以为0.当平均变化率等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数例如函数f(x)x2在区间2,2上的平均变化率是0，但它不是常数函数点拨 函数平均变化率的几何意义：如图所示，函数f(x)在区间x0，x1上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x0，f(x0)，B(x1，f(x1)事实上，kAB.2瞬时速度与导数(1)瞬时速度物体在运动过程中的某一时刻的速度称为瞬时速度用数学语言描述为：物体运动的位移函数sf(t)，当t趋近于0时，f(t)在t0到t0t之间的平均速度趋近于常数，这个常数称为物体在tt0时刻的瞬时速度(2)瞬时变化率设函数y
3、f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)如果当x趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率(3)导数“当x趋近于0时，趋近于常数l”可以用符号“”记作“当x0时，l”，或记作“ l”，符号“”读作“趋近于”函数yf(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f(x0)这时又称f(x)在点x0处是可导的对于上述变化过程，可以记作当x0时，f(x0)或f(x0) .(4)导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对
4、开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)或y(或yx)导函数通常简称为导数思考2 “函数f(x)在点xx0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？提示：(1)函数f(x)在点xx0处的导数f(x0)是一个数值，不是变量(2)导函数也简称导数，所以(3)函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值点拨 导数定义式的几种常见的变式：f(x) ；f(x) ；f(x
5、) ；f(x) ；f(x0) .3导数的几何意义(1)切线设函数yf(x)的图象如图所示AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线于是，当x0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即 切线AD的斜率(2)导数的几何意义由导数意义可知，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线的斜率等于f(x0)思考3 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？提示：不一定如x轴或与x轴平行的直线与抛物线y22px(p0)均只有一个公共点，但不能说这些直线是抛物线的切线思考4 曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？提示：不一定例如直线y1是曲线ysin x的一条切线，但它们有无数个公共点点拨 正确区分曲线切线的两种不同描述方法：(1)曲线yf(x)在点P处的切线，是指点P恰好就是切线与曲线的切点，这时切线唯一；(2)曲线yf(x)过点P的切线，是指点P可能是切线与曲线的切点，也可能不是切点当点P不是切点时，切线与曲线相切于另外的点，但切线经过点P，这时切线是不唯一的
