数学、心理与数学教学

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1、2018/11/21,1,数学、心理与数学教学,首都师范大学数学科学学院 连四清,2018/11/21,2,1 数学教育系统,2018/11/21,3,2 数学是什么？,恩格斯曾经概括为：“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。” 数学是文化，技术、是科学。 数学是模式等。,2018/11/21,4,美国国家研究委员会在1989年发表的致全国公民的一份关于数学教育现状与前景的报告（Everybody Counts: A Report to the Nation on the Future of Mathematics Education)。 这份报告调查了美国从幼儿园到研究生阶段的数

2、学教育状况，分析了美国数学教育的各个方面，报告指出了当时美国数学教育中存在的问题。大力呼吁进行数学教育改革，从根本上提高学生的数学水平。虽然这份报告至今也有近二十年了，但是其中的一些观点还被我国的很多学者所应用。,2018/11/21,5,这份报告中对数学的描述,数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多彩的学科了。现代数学所处理的是科学中的数据、测量和观测资料；是推断、演绎、证明；是自然现象、社会行为、社会系统的数学模型. 数学是模式和秩序的科学，数学的领域不是分子、细胞，而是数、机会、形状、算法和变化。作为研究抽象对象的科学，数学依靠逻辑而不是观测结果作为其真理的标准，但是数学也适用观测、

3、模拟甚至实验作为发现真理的根据。,2018/11/21,6,在教育中数学的特殊作用来自数学的普遍应用性。数学的结果（定理和理论）既重要而且有用；不仅如此，数学还向科学提供真理的基础，也提供了正确性的标准。 除了定理和理论之外，数学提供了有特色的思考方式，包括建立模型、抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推理以及应用符号等，它们是普遍适用并且强有力的思考方式。,2018/11/21,7,应用这些思考问题方式的经验构成了数学能力在当今这个技术时代日益重要的一种智力，它使人们能够批判地阅读，能识别谬误，能深察偏见、能估计风险，能提出变通方法，数学能使我们更好地了解我们生活在其中的充满信息的世界。,2

4、018/11/21,8,例1,y=105,2018/11/21,9,例2,在圆周上均匀地放上4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若是同色，就在其间放一枚黑子；若异色，就在其间放一枚白子。然后把原来的4枚棋子取走，完成这一程序就算是一次操作。证明：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作4次，圆周上就全是黑子.,2018/11/21,10,例2 分析,由于不知道开始时4枚棋子的颜色及其排列，所以按照题意操作，情形比较复杂。因此，我们可以考虑用一种数学符号或关系来表示这种操作，这样就有可能获得问题的解决。 考虑到操作程序中的棋子的颜色（黑白两色），同色中间放黑子，异色取白。 你

5、们想到什么？,2018/11/21,11,数学表达（mathematics representation),从上述题目，我们可以看到数学表达的价值所在。 简化信息之间的关系，易于发现探索和发现规律。 思考：从数学表达的角度讲，除一些数学概念、定理或性质的教学除了教授知识之外，数学教师还要从数学的本质来分析数学内容本身具有的价值。,2018/11/21,12,数学不应是过滤器，而应是泵,在我国的数学课堂里盛行一种效率极低的教学模式，教师毫无生气的讲解与学生廖然无趣的听讲。 对于大多数学生来讲，从事教学主要是一种被动的行动：教师写黑板、学生抄笔记、学生以机械的、模仿的方式对待讲义、练习册、家庭作业

6、，所有学过的东西很快忘得一干二净。 虽然例题讲解和死记硬背有时也能帮助提高学生的标准化考试成绩，但对于高层思维、分析问题和解决问题能力的提高，通常的效果平平。 我们的老师、学生处于极其疲惫的状态之中，我们的数学教育处于一个恶性循环之中。,2018/11/21,13,数学教学需要变革,鼓励学生进行探索； 帮助学生表达他们的数学想法； 希望学生体会到数学是充满活力和生气的 通过学生亲自体验，说明仔细论证和严密思考的重要性； 使所有的学生树立能学好数学的信心。,2018/11/21,14,数学提供了普遍适用并且强有力的思考方式,不仅表现在实际问题的解决中：如经典问题“哥尼斯堡七桥问题”，欧拉用抽象成

7、一笔画问题而奠定了图论分支的发展。,2018/11/21,15,数学思维初始的概略性,实际上，在解决问题中，人们常常回抛开问题的某些方法或部分，而抓住一些主要结构。即把问题抽象成较简单的形式，然后先解决这个简单的问题，然后利用这个解答来帮助或指导更复杂的整个问题的解决。 概略性特点。 一位专家的故事、蹩脚的画家,2018/11/21,16,2018/11/21,17,2018/11/21,18,3 数学本质的认识与数学教学 3.1代数的本质,代数学的根源在于代数运算，即加、减、乘、除、乘方和开方运算等。所有能够用代数运算加以表达的问题称之为代数问题。 代数学这门学问所要讨论的问题是如何有效、系

8、统地解决各种各样的代数问题。,2018/11/21,19,为了解决这个问题，我们简要地回顾一下数系扩充过程。 小学、初中和高中数学课程中，逐步渐进地学习逐级扩充的数系运算：最原始的自然数系N起始，到整数系Z,再到有理数Q，然后到实数系R，再到高中的复数系C。 问题：每一次扩充究竟添加了哪一类“新数”，所引进的新数的运算又是如何归结到原有数的运算来加以定义的？,2018/11/21,20,3.1.1. 数字的认识,3.1.1.1自然数 自然数系是我们用来数 “个数” 的数学工具（mathematical toll for counting),它的本质就是一个顺序排列的体系，其起始者为1，往后顺序

9、地“后者”就是“前者”多加1个，也即 2=1+1，3=2+1，4=3+1，5=4+1， . 如此逐个加1以致于无穷。 自然数系最原始的根本的结构就是“+1”，任何自然数都可以由1起始，逐步+1而达到它。 上述对自然数的描述就是数学归纳法原理。,2018/11/21,21,认清上述自然数的出发点，就不难看出加法、乘法和乘法的本质了. 归纳定义： 加法是“+1”的复合：a+(n+1)=(a+n)+1 乘法是自相加的缩写：1a=a,2a=a+a, ; 即(n+1) a=na+a 乘方是自相乘的缩写；a(n+1)=ana,2018/11/21,22,运算律,证明：就是用一些事物的正确性去说明其他一些事

10、物的正确性。 由此，我们可以归纳证明加法交换律、加法结合律，分配律,2018/11/21,23,任给a,b,cN: (1)a+b N； (2)a+b=b+a； (3)(a+b)+c=a+(b+c)； (4)(a+b)c=ac+bc,2018/11/21,24,总之，自然数系的加、乘和乘方运算都是由最原始的“+1”运算，逐步复合得到的， 三个运算律也是可以由以归纳定义为出发点，用数学归纳法证明的，这样我们就建立起了代数的基础。,2018/11/21,25,有了这些运算律，我们才能系统地解决自然数的加法问题。 问题：对2+3+4+5进行运算需要用到哪些运算律？,2018/11/21,26,3.1.

11、1.2整数系及其运算,全体正整数对于数的加法是封闭的，即任意两个正整数的和仍然是正整数。但对于减法就不一定了，两个正整数的差可以不是正整数。 利用“旧数”来定义新数，并规定其运算，就可以证明添加“新数”后的运算律成立。,2018/11/21,27,存在0,使得a+0=a； 对任意给定的a都有一个确定的b使得a+b=0，这样唯一确定的b叫做a的相反数，记作b； 定义：ab=a+(b). 任给a,b,cZ，有: (1)a+b Z； (2)a+b=b+a； (3)(a+b)+c=a+(b+c)； (4) (a+b)c=ac+bc,2018/11/21,28,由此可以证明： (n)a=(na), 因为

12、 (na)+(n)a=(a+a+a)+(a)+(a)+(a) =(a+a)+a+(a)+(a)+(a)=0 以下法则可以证明： a0=0， 1 (1)=1，(1)(1)=1,2018/11/21,29,证明： a+a0=a1+a0=a (0+1)=a1=a, 所以, a0=0 1 (1)+1=1 (1)+11=1 (1)+1=10=0, 所以, 1 (1)=1 因为(1) (1)+(1)=(1) (1)+1 (1) =(1) (1)+1=(1) 0=0 所以(1)(1)=1.,2018/11/21,30,当然，当然在实际教学中我们不必如此严格，只要告诉学生记住运算律即可，而不是背出口诀“负负得

13、正”、“乘负数括号内变号” .,2018/11/21,31,3.1.1.3 有理数和无理数,整数集合对于乘法是封闭的，但对乘法的逆运算除法却不封闭，除法可以说来自物质的分配，但其本质是寻求ax=b的解，其实是a的乘法逆元素的问题。 由此可以定义新数的运算：,2018/11/21,32,3.1.2 运算律的应用,我们回过头来看自然数的那些看似简单的运算律究竟有什么大用处，其实运算律是整个代数学的基础！ 当我们回顾这些数学的精要而简朴的内容时，我们才会知道什么是数学的本质，什么才是我们在教学中要坚持的原则。,2018/11/21,33,2018/11/21,34,由于对于任意数，运算律普遍成立，所

14、以对于上述的未知数，我们可以应用运算律，进行方程中的去括号，合并同类项的操作。 从数系扩充，和解方程可以看出，运算律是代数学的基础，也是代数学的根本。 即我们可以应用运算律系统地解决代数问题。 “分配律的逆用”、新石器时代（项武义）,2018/11/21,35,归纳法,归纳定义， 运算律的归纳证明； 代数学所研讨的数系结构和各种公式，它们的本质是逐步归纳、构造得到的，它们的直观性比之几何就相去甚远了。 代数学中的公式和定理绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元，二元到高元逐步归纳而发现的，然后再用归纳论证去确认其正确性。 因此归纳是代数学的基本方法：归纳地探索、发现、归纳定义和归纳地证明。,

15、2018/11/21,36,3.2几何本质及其研究方法,几何学的课题就是研究、理解空间的本质，它是我们研究大自然、理解大自然的起点和基石所在。 几何的基础是空间的空间的基本结构和基本性质。 点、联结两点之间的直线段和直线，平面是空间的基本结构。三角形是仅次于直线段和直线的基本几何图形，而空间的部分性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现。 三角形之所以成为古希腊几何学所研究的主角，其原因也就是：三角形既简单而又充分地反映空间的本质。 空间基本性质：连结、分隔、对称性、平行性和连续性。,2018/11/21,37,几何研究的基本方法,自古到今，几何学的研究在方法论上大体上可以划分为以下几个阶段

16、： 实验几何：用归纳实验去发现空间之本质。 推理几何：以实验几何之所得为基础，该用演绎法，以逻辑推理探索新知，并对于已知的各种各样的空间本质，精益求精地作系统化和深刻的分析。在这方面，古希腊文明获得了辉煌的成就，它也是全人类理性文明中的重要成就。,2018/11/21,38,坐标几何：笛卡尔（Descartes）和费尔马（Fermat）通过坐标系的建立，把当代数学中的两大主角几何学和代数学简明有力地结合起来，开创了近代数学的先河，其自然而然的结果是微积分的产生和大量应用解析法研究自然现象。,2018/11/21,39,向量几何：向量几何在本质上是坐标解析几何的返璞归真。向量几何是不依赖坐标系的解析几何（Coordinate-free analytical geometry），它自然而然地化解了原先解析几何中，由于坐标系的选取所引入的各种各样的不变量的困扰！,2