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1、数学物理方程 Equation of Mathematical Physics,第一章 定解问题 Chpt1 Definite solution problem,本章主要内容,数学物理方程是指自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程，这些方程的物理背景直接来源于自然现象和工程技术中的实际问题，其不仅仅是数学和应用数学专业的一门重要的专业基础课，而且也是水利、土木、环境、电子、石油、地矿和大气科学等理工科专业本科生和研究生的专业基础课。,1.1 定解问题,数学物理方程是指从自然科学和工程技术的某些物理问题中导出的反映物理量在不同时刻、不同地点（时空）相互关系的偏微分方程（有时也包括积分方程
2、）。 数理方程是描述物理规律的微分方程，其应用领域十分广泛，几乎涉及到自然科学与工程技术的每个领域。如弹性体的振动、电磁波的传播、热的传导、粒子扩散等等问题。,1.1 定解问题,大型建筑、石油勘探、能源、航天技术、核技术等工程技术领域中都可以抽象出含有多个变量的微分方程偏微分方程。 解决这些方程的问题，则必须学会使用数学方法来实现。因此，未来的科学家、工程师们必须掌握这门数学工具。,参考书: 杨秀雯，梁立华 编数学物理方程与特殊函数，天津大学出版社（工科研究生教材） ，1985 李明秀，田太心 主编数学物理方法，电子科技大学出版社（研究生系列教材），2007,1.1 定解问题,1.1 定解问题
3、,数学物理方程的研究一般可以分为三步： 1、根据物理问题建立数学模型； 2、对数学模型用数学方法求解（重点）； 3、检验解的正确性。 本课程将重点放在第2步上，即讲授如何求解数学物理方程。,本章主要内容,1.掌握数学物理方程的定解问题的定义； 2.掌握数学物理方程的三大类方程的导出； 3.掌握数学物理方程的定解条件。,1.1 定解问题,本章将在建立三类方程定解问题的基础上，详细介绍应用分离变量法求解混合问题；使用行波法求解初值问题；使用积分变换法求解齐次与非齐次定解问题；以及使用点源法（Green函数法）求解非齐次定解问题和边值问题等。 各章之间相对独立。,1.1 常微分方程基础,常微分方程基
4、础对于偏微分方程是重要的。 这里先介绍几类特殊的常微分方程：一阶微分方程、二阶微分方程、可降阶微分方程、Euler方程等。 Def：含有未知函数的各阶（偏）导数或微分方程的方程称为微分方程。若未知函数为一元函数，则称为常微分方程；若未知函数为多元函数，则称为偏微分方程。,1.1 常微分方程基础,满足微分方程的函数为微分方程的解。如果常微分方程的解含有的任意常数（函数）的个数与方程的阶数相同，则这样的解称为通解。取定通解中的任意常数或函数后称为特解。,一个偏微分方程中偏导数的最高阶数称为该方程的阶。,1.1 常微分方程基础,一、一阶微分方程,1.1 常微分方程基础,一、一阶微分方程,1.1 常微
5、分方程基础,一、一阶微分方程,1.1 常微分方程基础,二、高阶微分方程,1.1 常微分方程基础,二、高阶微分方程,1.1 常微分方程基础,二、高阶微分方程,1.1 常微分方程基础,二、高阶微分方程,1.1 常微分方程基础,二、高阶微分方程,1.1 常微分方程基础,二、高阶微分方程,1.1 常微分方程基础,求出u(x), v(x),1.1 常微分方程基础,1.1 常微分方程基础,1.1 常微分方程基础,1.1 常微分方程基础,1.1 常微分方程基础,1.1 常微分方程基础,1.2 偏微分方程,一、定义 偏微分方程(PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)就是含
6、有多个未知函数及其偏导数的方程。 若一个函数u在指定的区域内连续、具有方程中出现的一切偏导数，并且代入方程后能够使方程成为恒等式，则称函数u为方程的解。,一. 偏微分方程的基本概念,自变量,未知函数,偏微分方程的一般形式,1.2 偏微分方程,偏微分方程就是含有未知多元函数及其偏导数的方程,PDE的解,PDE的解,古典解,广义解,一些概念,是指这样一个函数，它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续，同时也满足方程。,线性PDE,非线性PDE,半线性PDE,拟线性PDE,（完全）非线性PDE,1.2 偏微分方程*,线性PDE：,PDE中对最高阶导数是线性的。,半线性PDE：,拟线性PDE：,拟线性
7、PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。,PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是一次的。,1.2 偏微分方程*,（完全）非线性PDE,齐次方程：,线性方程中，称不含有未知函数及其偏导数的项为自由项。若线性方程的自由项为零，则称方程为齐次的，否则为非齐次的。,1.2 偏微分方程*,举例（未知函数为二元函数）,1.,2.,变换,解为：,解为：,1.2 偏微分方程,举例（未知函数为二元函数）,4.,3.,解为：,变换,解为：,1.2 偏微分方程,5.,不易找出其通解，但还是可以找出一些特解,6.,特解都不易找到,举例（未知函数为二元函数）,1.2 偏微分方程*,举例(多元函数),拉普拉斯(
8、Laplace)方程,热传导方程,波动方程,1.2 偏微分方程,1.2 偏微分方程,偏微分方程具有2个特点： 特点1：解的自由度比常微分方程大。这是因为n阶常微分方程的解通常依赖于n个任意常数；而对n阶偏微分方程，其解通常依赖于n个任意函数。 下面举例说明。,1.2 偏微分方程,偏微分方程具有2个特点：,1.2 偏微分方程,偏微分方程具有2个特点：,1.2 偏微分方程,偏微分方程具有2个特点： 由此可见，这种“任意”的元素不再以常微分方程中的积分常数出现，而是以任意可微函数的形式出现。 一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等。,1.2 偏微分方程,偏微分方程具有2个特点： 特点2：解具有叠加性
9、。 下面介绍三个叠加原理*,1.2 偏微分方程,偏微分方程具有2个特点： 特点2：解具有叠加性。,1.2 偏微分方程,偏微分方程的特点： 特点2：解具有叠加性。,解的叠加原理对任何阶的线性方程都适用，而对非线性方程不成立。,1.2 偏微分方程,作业：,1.3 偏微分方程的分类,二、偏微分方程的分类： 数学、物理中的许多问题都可以化为二阶线性偏微分方程，即这些方程中未知函数偏导数的最高阶为二阶，而且它们对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的。 在工程技术中这种二阶线性偏微分方程遇到最多。 二阶线性偏微分方程可分为三类： 双曲型方程；抛物型方程；椭圆型方程。,1.3 偏微分方程的分类*,含2个自变量
10、二阶线性偏微分方程的分类：,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类*,小结,1.3 偏微分方程的分类*,1.3 偏微分方程的分类,双曲型方程；抛物型方程；椭圆型方程。 它们依次的标准形式分别为：,1.3 偏微分方程的分类,二阶线性偏微分方程可分为三类： 双曲型方程；抛物型方程；椭圆型方程。 其中型方程与时
11、间t无关。上述方程中当f=0时称为齐次方程。 波动方程中，f=0，方程描述的是自由振动； 热传导方程中， f=0，方程描述的是无源热传导； 泊松方程中，f=0，方程成为Laplace方程。 泊松方程和Laplace方程都用于描述稳恒状态的规律。,1.4 定解问题,2、用数理方程研究物理问题的步骤分三步： 建立定解问题，即建立方程和定解条件； 求解定解问题（重点）； 解的评价（适定性）。,1、什么是定解问题？,1.4 定解问题,并非所有的问题同时具有初始条件和边界条件。 只有方程+初始条件的定解问题初值问题(Cauchy问题)； 只有方程+边界条件的定解问题边值问题； 有方程+边界条件+初始条件
12、的定解问题混合问题,3、定解条件的提法,1.4 定解问题,一个定解问题提得是否合理，需要从以下三个方面加以验证： 解的存在性，即提出的问题是否有解？ 解的唯一性，即解是否只有一个解？ 解的稳定性，即当定解条件有微小变动时，解是否也仅有微小变动？若是，称解是稳定的，否则解就无意义。 如果定解问题的解同时满足：解存在、唯一并且稳定时，该问题就称为是适定的。,1.4 定解问题,下面举一个不稳定定解问题的例子，即著名的哈达玛(Hadamard)问题。,1.4 定解问题,1.4 定解问题,1.5 定解条件,1、初始条件-描述初始状态的条件。,定解条件初始条件，边界条件，等,初始条件对于波动方程、扩散方程
13、适用，Poisson方程与 Laplace方程均是描述稳恒状态，与初始条件无关，故不 存在初始条件。,对于波动方程，上两式分别相当于初始位移和初始速度. 对于扩散方程，第一式相当于初始温度(第二式无意义),1.5 定解条件,2、边界条件-描述边界上约束状态的条件。分为三类：,1.5 定解条件,2、边界条件-描述边界上约束状态的条件。,1.5 定解条件,3、其它条件-衔接条件、周期性条件、有限性条件（自然边界条件）等。,在研究不同介质的问题中，这时方程的数目增多，除了边界条件外，还需要加上不同介质处的衔接条件。 另外，在某些情况下，处于物理上的合理性等原因，需要解为单值、有限，就提出了所谓的自然
14、边界条件，这些条件通常不是要研究的问题所明确给出的，而是根据解的特性自然要求加上去的。如无限远处值应该为零等等即为此类。,1.5 定解条件,3、其它条件-衔接条件、周期性条件、有限性条件（自然边界条件）等。,1.5 定解条件,3、其它条件-衔接条件、周期性条件、有限性条件（自然边界条件）等。,1.5 定解条件小结,A、初始条件,注意： 波动方程中含有时间的二阶偏导数，为能够求解，需要2个初始条件； 扩散方程中仅含有时间的一阶偏导数，故仅需要一个初始条件； 温度场方程与时间无关，不需要初始条件。,1.5 定解条件小结,B、边界条件,本章主要内容,1.掌握数学物理方程的定解问题的定义； 2.掌握数
15、学物理方程的三大类方程的导出； 3.掌握数学物理方程的定解条件。,2 定解问题三大类方程的导出,建立方程的思路如下：,2.1 弦振动方程的建立,2.1 弦振动方程的建立,2.1 弦振动方程的建立,2.1 弦振动方程的建立,合力F,m,a,2.1 弦振动方程的建立,微分中值定理,2.1 弦振动方程的建立,2.1 弦振动方程的建立,2.1 弦振动方程的建立,2.2 热传导方程的建立,2.2 热传导方程的建立,2.2 热传导方程的建立,2.2 热传导方程的建立,2.2 热传导方程的建立,2.2 热传导方程的建立,2.3 位势方程的建立,2.3 位势方程的建立,2.3 位势方程的建立,2.3 位势方程的建立,2.3 位势方程的建立,2.3 位势方程的建立,2.3 位势方程的建立,本章主要内容,1.掌握数学物理方程的定解问题的定义； 2.掌握数学物理方程的三大类方程的导出； 3.掌握数学物理方程的定解条件。,2.4 定解问题及例题,2.4 定解问题及例题,方向相反,2.4 定解问题及例题,2.4 定解问题及例题,2.4 定解问题及例题,2.4 定解问题及例题,2.4 定解问题及例题,2.4 定解问题及例题,2.4 定解问题及例题,
