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1、高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题,考点自测,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,考点自测,1.(2015课标全国)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为,答案,解析,如图，设双曲线E的方程为 1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1) 在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1,0)，,ABM为等腰三角形，且ABM120， |BM|AB|2a，MBN60， y1|MN|BM|sinMBN2asin 60 a，,2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2 ，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|
2、OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为,答案,解析,由|OP|OF|OF|知，FPF90，即FPPF. 在RtPFF中，由勾股定理，,由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812，,3.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为,答案,解析,方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得,4.(2016北京)双曲线 1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.,答案,解析,2,设B为双曲线的右焦点，如图所示.,四边形OABC为正方形且边长为2，,又a2b2c28，a
3、2.,答案,解析,题型分类 深度剖析,题型一 求圆锥曲线的标准方程,例1 已知椭圆E： 1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为,答案,解析,设A(x1，y1)、B(x2，y2)，,联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，,又因为a2b29，解得b29，a218.,思维升华,求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.,跟踪训练1 (2015天津)已知双曲线 1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，
4、则双曲线的方程为,答案,解析,则a2b24， ,题型二 圆锥曲线的几何性质,例2 (1)(2015湖南)若双曲线 1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为,答案,解析,即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，,答案,解析,思维升华,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.,跟踪训练2 已知椭圆 1(ab0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆 1(ab0)的离心率为_
5、.,答案,解析,|PF|p，|EF|p.,题型三 最值、范围问题,例3 若直线l：y 过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行. (1)求双曲线的方程；,解答,所以a23b2，且a2b2c24，,(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围.,解答,由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为 ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).,设MN的中点为Q(x0，y0)，,故直线m在y轴上的截距的取值范围为(，4)(4，).,思维升华,圆锥曲线中的最值、范围问题解决方
6、法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围.,答案,解析,设与l平行的直线l：yxm与椭圆相切于P点. 则ABP面积最大.,(4m)243(2m22)0，,题型四 定值、定点问题,例4 (2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；,解答,因为|AD|AC|，EBAC，故EBDA
7、CDADC， 所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|. 又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4. 由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，,(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.,解答,当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).,故四边形MPNQ的面积,当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.,思维升华,求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手
8、，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.,跟踪训练4 (2016北京)已知椭圆C： 1(ab0)的离心率为 ，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程；,解答,(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.,证明,由(1)知，A(2,0)，B(0,1).,当x00时，y01，|BM|2，|AN|2， |AN|BM|4. 故|AN|BM|为定值.,题型五 探索性问题,例5 (2015广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相
9、交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标；,解答,圆C1：x2y26x50化为(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3,0).,(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；,解答,设M(x，y)， A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点， 由圆的性质知MC1MO，,由向量的数量积公式得x23xy20. 易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为ymx，,把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，,当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0). 又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，,(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的
10、取值范围；若不存在，说明理由.,解答,由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x23xy20，其中 x3， 化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中 x3， 记f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中 x3. 若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)0.,此时方程可化为25x2120x1440，即(5x12)20，,当0时，,思维升华,(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲
11、线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.,解答,(1)求椭圆E的方程；,解答,得(4k23)x28kmx4m2120.,设T(t,0)，Q(4，m4k)，,4k234m2，,t1，,课时作业,(1)求椭圆E的方程；,1,2,3,4,解答,1,2,3,(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.,证明,4,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，,1,2,3,从而直线AP，AQ的斜率
12、之和,4,1,2,3,4,1,2,3,解答,(1)求椭圆E的方程；,4,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，,1,2,3,4,1,2,3,4,3.(2016北京顺义尖子生素质展示)已知椭圆 1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点.,解答,1,2,3,(1)求该椭圆的离心率；,4,(2)设直线AB和AC分别与直线x4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MPNP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.,解答,1,2,3,4,依题意，直线BC的斜率不为0， 设其方程为xty1.,设B(x1，y1)，C(x2，y2)，,1,2,
13、3,4,假设x轴上存在定点P(p,0)使得MPNP，,将x1ty11，x2ty21代入上式，整理得,1,2,3,4,即(p4)290，解得p1或p7.,所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，,使得MPNP.,1,2,3,4,4.如图，已知M(x1，y1)是椭圆 1(ab0)上任意一点，F为椭圆的右焦点.,1,2,3,(1)若椭圆的离心率为e，试用e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值；,解答,4,1,2,3,又ax1a且0e1， 所以|MF|aex1，且|MF|maxaae，|MF|minaae.,4,(2)已知直线m与圆x2y2b2相切，并与椭圆交于A，B两点，且直线m与圆的切点Q在y轴右侧，若a2，求ABF的周长.,解答,1,2,3,4,设A(x0，y0)，B(x2，y2)(x0，x20)，连接OQ，OA，,1,2,3,所以|AB|AF|BF|,又a2，所以所求周长为4.,4,
