《高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_7解三角形实际应用举例课件文北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_7解三角形实际应用举例课件文北师大版（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.7 解三角形实际应用举例,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角(如图).,1.仰角和俯角,知识梳理,上方,下方,指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).,3.方位角,正北,1.三角形的面积公式：,2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的
2、关系为180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0， .( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0， ).( ),1.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为,考点自测,答案,解析,2.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的 A.北偏东15 B.北偏西15 C.北偏东10 D.北偏西10,答案,解析,如图所示
3、，ACB90， 又ACBC， CBA45，而30， 90453015， 点A在点B的北偏西15.,3.(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC等于,答案,解析,如图，在ABC中， AB10，A60，B75，,4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30， 则A点离地面的高度AB_.,答案,解析,5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h； 水的流向是正东，流速是20 km/h
4、，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.,答案,解析,60,如图，AOB60， 由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，,题型分类 深度剖析,题型一 求距离、高度问题,例1 (1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于,答案,解析,如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，,在ABD中，BAD907515，,(2)(2016三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别为30，60，则塔高是_ m.,答案,解析,如图，设塔A
5、B高为h，在RtCDB中， CD200 m，BCD906030，,在ABC中，ABCBCD30，ACB603030， BAC120.,思维升华,求距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,跟踪训练1 (1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船
6、与灯塔的距离为_ km.,答案,解析,如图，由题意，BAC30，ACB105， B45，AC60 km，,(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,答案,解析,在PAB中，PAB30，APB15，AB60， sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30,题型二 求角度问题,例2 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的
7、方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的 值为_.,答案,解析,在ABC中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得,由ACB30，得cos cos(ACB30),思维升华,解决测量角度问题的注意事项： (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.,跟踪训练2 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观
8、察点P的仰角的大 小.若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是_ (仰角为直线AP与平面ABC所成角).,答案,解析,如图，过点P作POBC于点O， 连接AO，则PAO.,在RtABC中，AB15 m，AC25 m， 所以BC20 m.,题型三 三角形与三角函数的综合问题,(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；,解答,解答,可求得bc40.,思维升华,三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.,(1)求f(x)的单调区间；,解答,(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别
9、为a，b，c.若 0，a1，求ABC面积的最大值.,解答,由余弦定理a2b2c22bccos A，,典例 (12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？,函数思想在解三角形中的应用,思想与方法系列10,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以
10、最短时间与轮船相遇，并说明理由.,规范解答,思想方法指导,已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.,解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 1分,(2)设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2400900t222030tcos(9030)，8分,此时，在OAB中，有OAOBAB20. 11分 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时. 12分,课时作业,1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，
11、海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是,答案,解析,如图所示，易知，在ABC中， AB20，CAB30，ACB45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为,答案,解析,如图，在ABC中，由已知可得ACB45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，
12、则这艘船的速度是每小时,答案,解析,如图所示，依题意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，从而CDCA10， 在RtABC中，得AB5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为,A.30 B.45 C.60 D.75,答案,解析,又CD50，所以在ACD中，,又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
13、0,11,12,13,5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于,答案,解析,在BCD中，CBD1801530135.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是 A.50 m B.1
14、00 m C.120 m D.150 m,答案,解析,设水柱高度是h m，水柱底端为C，,在ABC中，A60，ACh，AB100，,即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50， 故水柱的高度是50 m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.,答案,解析,如图，OMAOtan 4530(m)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在MON中，由余弦定理得，,8.如图，一艘
15、船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距 n mile.此船的航速是_ n mile/h.,答案,解析,32,设航速为v n mile/h，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇 形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一 条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用 了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米.,答案,解析,如图，连接OC，在OCD中， OD100，CD150，CDO60. 由
