《高考数学一轮复习 第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入教师用书 文 北师大版（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节第四节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 考纲传真 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表 示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的 几何意义 1复数的有关概念 (1)复数的概念：形如abi(a，bR R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚 部若b0，则abi 为实数，若b0，则abi 为虚数，若a0 且b0，则abi 为 纯虚数 (2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR R) (3)共轭复数：abi 与cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR R) (4)复数的模：向量的模r叫作复
2、数zabi 的模，即|z|abi|. OZ a2b2 2复数的几何意义 复数zabi复平面内的点Z(a，b) 平面向量(a，b) OZ 3复数代数形式的四则运算 (1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR R. z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i. i(cdi0) z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 如图 441 所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即OZOZ1OZ2，. Z1Z
3、2 OZ2 OZ1 图 441 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)复数zabi(a，bR R)中，虚部为bi.( ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量 的模. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2. (教材改编)如图 442，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数 的点是( ) 【导学号：66482216】 AA BB CC DD 图 442 B B 共轭复数对应的点关于实轴
4、对称 3(2016四川高考)设 i 为虚数单位，则复数(1i)2( ) A0 B2 C2i D22i C C (1i)212ii22i. 4(2016北京高考)复数( ) 12i 2i Ai B1i Ci D1i A A 法一：i. 12i 2i 12i2i 2i2i 5i 5 法二：i. 12i 2i i12i i2i i12i 2i1 5复数 i(1i)的实部为_ 1 i(1i)1i，所以实部为1. 复数的有关概念 (1)(2016全国卷)若z43i，则( ) z |z| A1 B1 C. i D i 4 5 3 5 4 5 3 5 (2)(2017陕西质检(二)设a是实数，且是一个纯虚数
5、，则a_. a2i 1i (1)D D (1)z43i， 43i，|z|5， z4232 i. z |z| 43i 5 4 5 3 5 (2)因为复数i 为纯虚数，所以Error!解得 a2i 1i a2i1i 1i1i a2 2 2a 2 a2. 规律方法 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实 部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可 2求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义 求解 变式训练 1 (1)(2017合肥二
6、次质检)已知 i 为虚数单位，复数z的虚部为( ) i 2i 【导学号：66482217】 A B 1 5 2 5 C D 1 5 2 5 (2)设zi，则|z|( ) 1 1i A. B 1 2 2 2 C D2 3 2 (1 1)D D (2 2)B B (1)复数z i，则其虚部为 ， i 2i i2i 2i2i 12i 5 1 5 2 5 2 5 故选 D. (2)zii i，|z|. 1 1i 1i 2 1 2 1 2 ( 1 2)2( 1 2)2 2 2 复数代数形式的四则运算 (1)(2015全国卷)已知复数z满足(z1)i1i，则z( ) A2i B2i C2i D2i (2)
7、(2016天津高考)已知a，bR R，i 是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则 的值为 a b _ (1 1)C C (2 2)2 2 (1)(z1)ii1，z11i，z2i，故选 C. i1 i (2)(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR R，1ba且 1b0，得 a2，b1， 2. a b 规律方法 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子 分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式 2记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1i)22i；(2)i；(3)i；(4)baii(abi)；(5) 1i 1i 1i 1i i4n1；i4n1i；i4
8、n21；i4n3i(nN N) 变式训练 2 (1)已知1i(i 为虚数单位)，则复数z( ) 1i2 z 【导学号：66482218】 A1i B1i C1i D1i (2)已知 i 是虚数单位， 82 018_. ( 1i 1i) ( 2 1i) (1)D D (2)1i (1)由1i，得z 1i2 z 1i2 1i 2i 1i 1i，故选 D. 2i1i 1i1i (2)原式 81 009 ( 1i 1i) ( 2 1i)2 i8 1 009i8i1 009 ( 2 2i) 1i425211i. 复数的几何意义 (1)(2016全国卷)已知z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点 在第四
9、象限，则实数m的取值范围是( ) A(3,1) B(1,3) C(1，) D(，3) (2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2( ) A5 B5 C4i D4i (1 1)A A (2 2)A A (1)由题意知Error!即3m1.故实数m的取值范围为(3,1) (2)z12i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点 关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(2,1)即z22i， z1z2(2i)(2i)i245. 规律方法 1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR R) OZ Z(a，b). OZ 2由于复数
10、、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何 联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 变式训练 3 (2017郑州二次质检)定义运算adbc，则符合条件 | a，b c，d| 0 的复数z对应的点在( ) | z，1i 2， 1| A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 A A 由题意得z12(1i)0，则z22i 在复平面内对应的点为(2,2)，位于第 一象限，故选 A. 思想与方法 1复数分类的关键是抓住zabi(a，bR R)的虚部：当b0 时，z为实数；当 b0 时，z为虚数；当a0，且b0 时，z为纯虚数 2复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数 3化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚” 为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁 易错与防范 1判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义 2两个虚数不能比较大小 3利用复数相等abicdi 列方程时，应注意a，b，c，dR R 的前提条件 4注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若 z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z20 在复数范围内有可能成立 2 12 2
