《高考数学一轮复习 第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第1节 平面向量的概念及线性运算教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第1节 平面向量的概念及线性运算教师用书 文 北师大版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入 深研高考备考导航 为教师备课、授课提供丰富教学资源 五年考情 重点关注 1从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面 向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的 有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小 2平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体 作用 3本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就 使得向量成了数形结合的桥梁 导学心语 1透彻理解平面向量的有
2、关概念及相应的运算法则是学好本章的基础(1)向量的几 何运算侧重于“形” ，坐标运算侧重于“数” ，要善于将二者有机结合和转化(2)平面向量 的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用 2平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用平面向量的复习 应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用 3复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题， 因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法 第一节第一节 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 考纲传真 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义， 理解向量的几何表示.2.掌握向量加
3、法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的 运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义 1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模) (2)零向量：长度为零的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度为单位 1 的向量 (4)向量平行(或共线)：表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个 向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的加法和减法 (1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则 运算律：交
4、换律a ab bb ba a； 结合律(a ab b)c ca a(b bc c) (2)减法法则：减法与加法互为逆运算；服从三角形运算法则 3实数与向量的积 (1)实数与向量a a的积是一个向量，记作a a，规定： 长度：|a a|a a|； 方向：当0 时，a a与a a的方向相同；当0 时，a a与a a的方向相反；当 0 时，a a0，方向任意 (2)运算律：设，R R，则 (a a)()a a； ()a aa aa a； (a ab b)a ab b. 4向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a a是一个非零向量，若存在一个实数，使得b ba a，则向量b b与非 零向量a
5、a共线 (2)性质定理：若向量b b与非零向量a a共线，则存在一个实数，使得b ba a. 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( ) (2)若a ab b，b bc c，则a ac c.( ) (3)a ab b是a ab b(R R)的充要条件( ) (4)ABC中，D是BC的中点，则 ()( ) AD 1 2 AC AB 答案 (1) (2) (3) (4) 2(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则( ) BC CD A. AD 1 3AB 4 3AC B. AD 1 3AB 4 3A
6、C C. AD 4 3AB 1 3AC D. AD 4 3AB 1 3AC A A ().故选 A. AD AC CD AC 1 3BC AC 1 3 AC AB 4 3AC 1 3AB 1 3AB 4 3AC 3(2017银川质检)设点P是ABC所在平面内一点，且2，则 BC BA BP _. PC PA 0 因为2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故0. BC BA BP PC PA 4(教材改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a a，b b，则 OA OB _，_(用a a，b b表示) DC BC b ba a a ab b 如图，b ba a， DC AB OB
7、OA a ab b. BC OC OB OA OB 5已知a a与b b是两个不共线向量，且向量a ab b与(b b3a a)共线，则 _. 【导学号：66482190】 由已知得a ab bk(b b3a a)， 1 3 Error!Error!得Error!Error! 平面向量的有关概念 给出下列六个命题： 若|a a|b b|，则a ab b或a ab b； 若，则ABCD为平行四边形； AB DC 若a a与b b同向，且|a a|b b|，则a ab b； ，为实数，若a ab b，则a a与b b共线； a a0(为实数)，则必为零； a a，b b为非零向量，a ab b的充
8、要条件是|a a|b b|且a ab b. 其中假命题的序号为_. 【导学号：66482191】 不正确|a a|b b|.但a a，b b的方向不确定，故a a，b b不一定是相等 或相反向量； 不正确因为，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是平行四 AB DC 边形 不正确两向量不能比较大小 不正确当0 时，a a与b b可以为任意向量，满足a ab b，但a a与b b不一 定共线 不正确当1，a a0 时，a a0. 不正确对于非零向量a a，b b，a ab b的充要条件是|a a|b b|且a a，b b同向 规律方法 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正
9、确的；(2)充分利用反 例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性(2)共线向量(平行向量)和 相等向量均与向量的起点无关 3若a a为非零向量，则是与a a同向的单位向量，是与a a反向的单位向量 a a |a a| a a |a a| 变式训练 1 设a a0为单位向量，若a a为平面内的某个向量，则a a|a a|a a0；若a a 与a a0平行，则a a|a a|a a0；若a a与a a0平行且|a a|1，则a aa a0.上述命题中，假命题的个 数是 ( ) A0 B1 C2 D3 D D 向量是既有大小又有方
10、向的量，a a与|a a|a a0的模相同，但方向不一定相同，故是 假命题；若a a与a a0平行，则a a与a a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a a|a a|a a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3. 平面向量的线性运算 (1)(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的 中点，则( ) EB FC A. B BC 1 2AD C D AD 1 2BC (2)(2016广东广州模拟)在梯形ABCD中，ADBC，已知AD4，BC6，若 mn(m，nR R)，则 ( ) CD BA BC m n 【导学号：66482192】 A3 B 1 3
11、C D3 1 3 (1 1)C C (2 2)A A (1)如图， EB FC EC CB FB BC () EC FB 1 2 AC AB 2. 1 2 AD AD (2)如图，过D作DEAB，mn， CD BA BC CE ED 1 3BC BA 所以n ，m1，所以 3.故选 A. 1 3 m n 规律方法 向量的线性运算的求解方法 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的 基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解 (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中 位线、相似三角形对应边成比例等平面
12、几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接 关系的向量来求解 变式训练 2 (1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在 平面内任意一点，则等于( ) OA OB OC OD 【导学号：66482193】 A. B2 OM OM C3 D4 OM OM (2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数 PA BP CP AP PD 的值为_ (1)D D (2)2 (1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得2， OA OC OM 2，所以4.故选 D. OB OD OM OA OB OC OD OM (2)因为D是BC的中点，则2. AB AC
13、AD 由0，得. PA BP CP BA PC 又， AP PD 所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此22 AP AB AC AD ，所以2. PD 共线向量定理的应用 设两个非零向量a a与b b不共线， (1)若a ab b，2a a8b b，3(a ab b)，求证：A，B，D三点共线； AB BC CD (2)试确定实数k，使ka ab b和a akb b共线 解 (1)证明：a ab b，2a a8b b，3(a ab b)，2 分 AB BC CD 2a a8b b3(a ab b) BD BC CD 2a a8b b3a a3b b5(a ab b)5. AB ，共线，又它们有公共点B， AB BD A，B，D三点共线. 5 分 (2)ka ab b和a akb b共线， 存在实数，使ka ab b(a akb b)， 即ka ab ba akb b，(k)a a(k1)b b. 9 分 a a，b b是两个不共线的非零向量， kk10，k210，k1. 12 分 规律方法 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线：对于向量a a，b b，若存在实数，使a ab b，则a a与b b共线 (2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线 AB AC (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参
