《高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数教师用书 文 北师大版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节第五节 两角和与差及二倍角的三角函数两角和与差及二倍角的三角函数 考纲传真 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦 公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式 进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记 忆) 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()sincoscossin； (2)cos()coscossinsin； (3)tan(). tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦
2、、余弦、正切公式 (1)sin22sincos； (2)cos2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan2. 2tan 1tan2 3有关公式的变形和逆用 (1)公式T()的变形： tantantan()(1tan_tan_)； tantantan()(1tan_tan_) (2)公式 C2的变形： sin2 (1cos2)； 1 2 cos2 (1cos2) 1 2 (3)公式的逆用： 1sin2(sincos)2； sincossin. 2 ( 4) 4辅助角公式 asinbcossin(). a2b2 (其中tan b a) 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”
3、 ，错误的打“”) (1)存在实数，使等式 sin()sinsin成立( ) (2)在锐角ABC中，sinAsinB和 cosAcosB大小不确定( ) (3)公式 tan()可以变形为 tantantan() tan tan 1tan tan (1tantan)，且对任意角，都成立( ) (4)公式asinxbcosxsin(x)中的取值与a，b的值无关( ) a2b2 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)sin20cos10cos160sin10( ) A B 3 2 3 2 C D 1 2 1 2 D D sin20cos10cos160sin10sin20cos10co
4、s20sin10 sin(2010)sin30 ，故选 D. 1 2 3(2016全国卷)若 tan ，则 cos2( ) 1 3 A B 4 5 1 5 C D 1 5 4 5 D D cos2. cos2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 又tan ，cos2 . 1 3 11 9 11 9 4 5 4(2017云南二次统一检测)函数 f (x)sinxcosx的最小值为_. 3 【导学号：66482165】 2 函数f (x)2sin的最小值是2. (x 6) 5若锐角，满足(1tan)(1tan)4，则_. 33 【导学号：66482166】 由(1tan)(1tan)
5、4， 333 可得，即 tan(). tan tan 1tan tan 33 又(0，)，. 3 三角函数式的化简 (1)化简：_. sin 22cos2 sin( 4) (2)化简：. 2cos4x2cos2x1 2 2tan( 4 x)sin2( 4 x) (1)2cos 原式2cos. 2 2sin cos 2cos2 2 2 sin cos 2 (2)原式 2sin2xcos2x1 2 2sin( 4 x)cos2( 4 x) cos( 4 x) cos2x. 1 21sin22x 2sin( 4 x)cos( 4 x) 1 2cos22x sin( 2 2x) 1 2 规律方法 1.
6、三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角” ，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公 式 (2)二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是 “切化弦” (3)三看“结构特征” ，分析结构特征，找到变形的方向 2三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂 变式训练 1 化简 sin2sin2sin2_. ( 6) ( 6) 法一：原式sin2 1 2 1cos(2 3) 2 1cos(2 3) 2 1sin21cos2cossin21 1 2cos(2 3)cos(2 3) 3 . cos 2 2 1cos 2
7、 2 1 2 法二：令0，则原式 . 1 4 1 4 1 2 三角函数式的求值 角度 1 给角求值 (1)( ) 2cos 10sin 20 sin 70 A. B 1 2 3 2 C D 32 (2)sin50(1tan10)_. 3 (1 1)C C (2 2)1 1 (1)原式 2cos3020sin 20 sin 70 2cos 30cos 20sin 30sin 20sin 20 sin 70 . 3cos 20 cos 203 (2)sin50(1tan10) 3 sin50(1 3 sin 10 cos 10) sin50 cos 10 3sin 10 cos 10 sin50
8、2(1 2cos 10 3 2 sin 10) cos 10 1. 2sin 50cos 50 cos 10 sin 100 cos 10 cos 10 cos 10 角度 2 给值求值 (1)(2016全国卷)若 cos ，则 sin2( ) ( 4 ) 3 5 A. B 7 25 1 5 C D 1 5 7 25 (2)(2016安徽十校联考)已知为锐角，且 7sin2cos2，则 sin( ) ( 3) 【导学号：66482167】 A. B 13 5 8 15 3 8 C D 13 5 8 15 3 8 (1 1)D D (2 2)A A (1)cos ， ( 4 ) 3 5 sin2
9、coscos22cos2121. ( 2 2) ( 4 ) ( 4 ) 9 25 7 25 (2)由 7sin2cos2得 7sin2(12sin2)，即 4sin27sin20，sin2(舍去)或 sin .为锐角， 1 4 cos，sin ，故选 A. 15 4 ( 3) 1 4 1 2 15 4 3 2 13 5 8 角度 3 给值求角 已知 sin，sin()，均为锐角，则 5 5 10 10 角等于( ) A. B 5 12 3 C D 4 6 C C ，均为锐角，. 2 2 又 sin()，cos(). 10 10 3 10 10 又 sin，cos， 5 5 2 5 5 sins
10、in() sincos()cossin() . 5 5 3 10 10 2 5 5 ( 10 10) 2 2 . 4 规律方法 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角 与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解 2 “给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题 关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系 3 “给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围， 最后确定角. 三角变换的简单应用 已知函数f (x)sin2xsin2，xR R. (x 6) (1)求f (x)的最小正周
11、期； (2)求f (x)在区间上的最大值和最小值 3 ， 4 解 (1)由已知，有 f (x) 1cos 2x 2 1cos(2x 3) 2 cos2x 1 2( 1 2cos 2x 3 2 sin 2x) 1 2 sin2x cos2x sin. 3 4 1 4 1 2 (2x 6) 所以f (x)的最小正周期T. 5 分 2 2 (2)因为f (x)在区间上是减函数， 3 ， 6 在区间上是增函数， 6 ， 4 且f ，f ，f ， ( 3) 1 4 ( 6) 1 2 ( 4) 3 4 所以f (x)在区间上的最大值为，最小值为 . 12 分 3 ， 4 3 4 1 2 规律方法 1.进行
12、三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之 间的关系；注意公式的逆用和变形使用 2把形如yasinxbcosx化为ysin(x)，可进一步 a2b2 (其中tan b a) 研究函数的周期、单调性、最值与对称性 变式训练 2 (1)(2016山东高考)函数f (x)(sinxcosx)(cosxsinx)的 33 最小正周期是( ) A. B 2 C D2 3 2 (2)(2014全国卷)函数f (x)sin(x)2sincosx的最大值为_ (1 1)B B (2 2)1 1 (1)法一：f (x)(sinxcosx)(cosxsinx) 33 4( 3 2 sin x1 2c
13、os x)( 3 2 cos x1 2sin x) 4sincos2sin， (x 6) (x 6) (2x 3) T. 2 2 法二：f (x)(sinxcos x)(cosxsinx) 33 3sinxcosxcos2xsin2xsinxcosx 33 sin2xcos2x 3 2sin， (2x 3) T.故选 B. 2 2 (2)f (x)sin(x)2sincosx sinxcoscosxsin2sincosx sinxcoscosxsinsin(x) f (x)max1. 思想与方法 三角恒等变换的三种变换角度 (1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系常用的拆角、拼角方法是： 2()()，() ，. 2 2 2 ( 2) ( 2 ) (2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化” ， “升幂与降幂” “1”的代换 等 (3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等 易错与防范 1三角函数是定义域到值域的多对一
