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1、悬链线在系泊系统设计中的应用悬链线在系泊系统设计中的应用 全国大学生数学建模竞赛2016A题的解答与点评 主讲人：周义仓西安交通大学数学与统计学院 , 029-82668741 主要内容主要内容 1. 题目及其背景 2. 悬链线方程推导 3. 问题1和问题2的模型与解答 4. 问题3的模型与解答 5. 离散化的递推模型 6. 竞赛答卷情况综述 7. 对教学的建议 1.1.题目及其背景题目及其背景2016A 2016A 系泊系统的设计系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成 （如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的 囿柱体，浮标的质
2、量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚 链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环， 近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度 1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端不锚的链接处 的切线方向不海床的夹角丌超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢 失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封囿柱形钢桶内，设 备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直 时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。 钢桶的倾斜角度（钢桶不竖直线的夹角）超过5度时，设备的工
3、作效果较 差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶不电焊锚链链接处可悬挂重物球。 系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、 长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度 和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。 现将该型传输节点布放在水深18m、海床平 坦、海水密度为1.025103kg/m3的海域。 若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和 24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链 形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2 在问题1的假设下，计算海面风速 为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚 链形状和浮标的游动区
4、域。请调节重物球的 质量，使得钢桶的倾斜角度丌超过5度，锚 链在锚点不海床的夹角丌超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布 放海域的实测水深介于16m20m之 间。布放点的海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请 给出考虑风力、水流力和水深情况 下的系泊系统设计，分析丌同情况 下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形 状、浮标的吃水深度和游动区域。 锚链型号和参数表 型型 号号 长度（长度（mmmm） 质量质量 （kgkg） I783.2 II1057 III12012.5 IV15019.5 V18028.12 长度是指每节链环的长度; 质量时指每米环链的质量 说明 近海风
5、荷载可通过近似公式 F=0.625Sv2(N)计算，其中 S 为物体在 风向法平面的投影面积(m2)，v为风速 (m/s）。近海水流力可通过近似公式 F=374Sv2(N)计算，其中S为物体在水 流速度法平面的投影面积(m2)，v为水 流速度(m/s）。 题目来源及要求题目来源及要求 应征题目：近浅海海底观测网的组网优化问题，原题是针 对某海域试验用海底观测网提出的，需要通过模型设计试 验海域中系泊系统和水声通讯系统传输节点的布局； 关注的是第三问，问题1和问题2是我们中加的，帮助学生 理解问题和形成建模不求解的思路； 考察学生理解和简化实际问题的能力，主要用力学知识建 立模型，进行求解后给出
6、需要的结果：确定锚链的型号、 长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及 钢桶的倾斜角度尽可能小。 题目解答的主要思路题目解答的主要思路 通过受力分析建立模型，求解后给出需要的结果。 将锚链、钢桶、钢管都简化为柔软的绳索，利用悬挂重 物的三段悬链线来解决； 将下部的锚链简化为悬链线，上面的钢桶和钢管分别作 为刚体来处理，由力和力矩的平衡条件建立模型； 将每节环链、钢桶和钢管都看作刚体，得到力和力矩的 平衡条件，给出离散的递推模型。 2. 2. 悬链线方程的推导悬链线方程的推导 2 0 2 2 2 cossin tantan1( ) 1,(0)0,(0)0. cosh1 x OP THT
7、W Wdy Wy xdx Hdx d ydy yy dxHdx xH yaa a 考虑段悬链线的受力情况 力平衡方程：， ， ， 悬链线方程推导（悬链线方程推导（1 1） 22 2 2 0000 2 , ()cos()cos , ()sin()sin, cos() sin() ( ) 1( ), tan , sec ( ) 1,(),()tan cosh x xdx TdTdT TdTdTdW dd d dWxy x dx yy dx d yxdy y xyy x dxHdx x ya 考虑段悬链线的受力情况 在两个方向上的力平衡方程分别为 将，展开， 00 0 00 1 sin ln, co
8、scos xaH ya a 悬链线方程推导（悬链线方程推导（2 2） 2 , 1( ) ()cos()cossin, ()sin()sin. cos() sin() x xdx dsy xdx xy TdTdTfds TdTdTds dd 有水流力时的情况：考虑对应弧段 悬链线的受力情况，记 在 、 两个方向上的力平衡方程分别为 将，展开，整理 2 cos sinsin ,(0), sincos ,(0). dT fTH ds df dsT 该方程组没有解析解，可以进行数值求解 10 2 10 10 10 cossinsin, sincos , cos,0, sin,0. kkkkkk kk
9、kkk k kkkk kkkk TTfsTH f s T xxsx yysy 悬链线方程推导（悬链线方程推导（3 3） 3. 3. 问题问题1 1和问题和问题2 2的模型与求解的模型与求解 0 12 3 0 12 =22.05m,=7 kg/m,1200kg, =100kg,=10kg,18m,12m/s, 7800kg/m , =59.59N/m =10214.62N=269.96N=85.12N water Lmm mmHv w www 设这些组件是钢材，比重为 则它们 在海水中的重量分别为：， ， 如果这些组件的材料不是钢材，其建模过程完 全相同，只是计算结 常数与浮力： ， 果有些差异
10、。 质量与计算浮力后的重量质量与计算浮力后的重量 基本思路基本思路 将锚链、钢桶 和钢管分别看作 是单位质量丌同 的柔软绳索，按 照三段挂有重物 的悬链线进行建 模不计算。 问题的简化：三段悬链线问题的简化：三段悬链线 0012 2 011 1 11 0 1000 9.84 3200.13 9.8 0.625 2 2 OQ( )cosh1 3.94( )3.94 cosh 0.251 f f w w WL wwww W H FHv x yy xa a F ay xx w 若锚链被全部拉起，在锚点与海床恰好相切，则 浮标所承载的重量： 浮标的吃水深度为： 浮标上的风力大小为： 之间悬链线的方程为
11、： 其中：， 第一段悬链线的方程第一段悬链线的方程 0 01 0 012 221 221 0 0 21101 11 0 1 101 2 2 Q Q 1 sin ( )coshln, coscos 0.87,()cosh1 + tan88.83 1 sin sinhln co m m xxa yyxay a xF ayy xa wa W F xx a a 之间第二段悬链线的方程为 锚链的重量 重物球的重量 风力的大小 这一段悬链线的长度为1米 1 2 11 1 sin sinh ln1 scos a 第二段悬链线的方程第二段悬链线的方程 01 15 1 312 332 322 1 32221 2
12、 0 2 512 3 32 Q Q 1 sin ( )coshln, coscos 2.760.87,() + tan88.86 1 sin sinhln cos m mm axx yy xay a F aayyx w W F xx a a 之间第三段悬链线的方程为 ， 锚链的重量 球和钢管的重量 风力的大小 这一段悬链线的长度为4米 2 3 2 1 sin sinh ln4 cos a 第三段悬链线的方程第三段悬链线的方程 35 1011 22 211 5122 33 322 015 ()18, 1sin1sin sinhlnsinh ln1, coscos 1sin1sin sinhlns
13、inh ln4. coscos =8.288 w y xH xx aa a xx aa a xxx 求解这一个方程组得到 8.26， 求解过程 0 1 1 .35 sinh15.76m 6.29 x sas a ， 再由求出第一段的弧长 还有米的锚链拖地 风速风速12m/s12m/s时的初步计算时的初步计算 1 15.76m6.29m 15.80m6.25m ( )3.98 cosh 0.251 ,08.30,yy xxx y 锚链被拉起，拖地重量不需要浮标 最后结果：锚链被拉起，拖地， 浮标吃水深度：0.68m，游动区域半径14.66， 钢桶、管倾角：1.188,1.184,1.175,1
14、重复这个过程，使两次计算锚链长度的误 .1 改变锚链的长度后重新计算，得到新的锚链长度， 66,1.158 三段悬链线的方程如下 差很小。 2 3 ( )0.88cosh(1.144.92)29.02, 8.308.33, ( )2.78cosh(0.361.58) 120.95, 8.338.4 6m 1 .25 y xxx yy xxx 系画图时横坐标分泊系统示加了（别意图 。 ） 风速风速12m/s12m/s时最后计算的结果时最后计算的结果 临界风速的计算临界风速的计算 0 2 0012 1 0 2312 12 1000 9.84 0.625 3200.13 9.8 arctanarc w m m L wwwwF HFSva w W FF aa wwF 临界风速：22.05m锚链恰好 计算步骤：从12m/s开始逐渐增加风速
