《历届全国大学生数学竞赛预赛参考解析(非数类)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《历届全国大学生数学竞赛预赛参考解析(非数类)（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案 （非数学类，2009） （非数学类，2009） 一、 填空题 （1） 计算 dxdy yx x y yx D + 1 1ln)( =_， 其中区域D由直线1=+ yx 与两坐标轴所围三角形区域. （ 2 ） 设 ( )f x是 连 续 函 数 ， 满 足 2 2 0 ( )3( )2f xxf x dx= ， 则 ( )f x =_. （3） 曲 面 2 2 2 2 x zy=+ 平 行 平 面 220xyz+= 的 切 平 面 方 程 是 _. （4）设函数 ( )yy x=由方程 ( ) ln29 fyy x
2、ee=确定，其中 f具有二阶导数， 且 1f ，则 2 2 d y dx =_. 答案： 16 15 ， 2 10 3 3 x ， 2250xyz+ =， 2 23 1( )( ) 1( ) fyfy xfy . 二、求极限 2 0 lim() exxnx x x eee n +? ，其中 n是给定的正整数. 解：原式 2 0 limexp ln() xxnx x eeee xn + = ? 2 0 (ln()ln ) explim xxnx x eeeen x + = ? 其中大括号内的极限是 0 0 型未定式，由 L Hospital法则，有 2 0 (ln()ln ) lim xxnx
3、x eeeen x +? 2 0 (2) lim xxnx xxnx x e eene eee + = + ? ? (12)1 () 2 enn e n + = ? 于是 原式= 1 () 2 n e e + . 三、 设函数 ( )f x连续, 1 0 ( )()g xf xt dt=， 且 0 ( ) lim x f x A x = ,A为常数， 求 ( )g x并 讨论( )g x在0x =处的连续性. 解：由题设，知 (0)0f=，(0)0g=. 令uxt=，得 0 ( ) ( ) x f u du g x x = (0)x ， 从而 0 2 ( )( ) ( ) x xf xf u
4、du g x x = (0)x 由导数定义有 0 2 00 ( ) ( ) (0)limlim 22 x xx f u du f xA g xx = 由于 00 22 0000 ( )( )( ) ( ) lim( )limlimlim(0) 22 xx xxxx xf xf u duf u du f xAA g xAg xxx = ， 从而知 ( )g x 在 0x =处连续. 四、已知平面区域 ( , )|0,0Dx yxy= ，L为D的正向边界，试证： （1） sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx = ? ； （2） sinsin2 5 2 yx L
5、xedyyedx ? . 证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计 算. (1) 左边 0 sinsinsinsin 00 () yxxx edyedxeedx =+ ， 右边 0 sinsinsinsin 00 () yxxx edyedxeedx =+ ， 所以 sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx = ? (2) 由于 sinsin2 2sin xx eex + ， sinsinsinsin2 0 5 () 2 yxxx L xedyyedxeedx =+ ? . 证法二： （1）根据 Green公式，将曲线积分化为区域D上的二
6、重积分 sinsinsinsin () yxyx LD xedyyedxeed =+ ? sinsinsinsin () yxyx LD xedyyedxeed =+ ? 因为 关于 yx= 对称，所以 sinsinsinsin ()() yxyx DD eedeed +=+ ，故 sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx = ? . (2) 由 2 2 0 22 (2 )! n tt n t eet n = +=+ sinsinsinsinsinsin2 5 ()() 2 yxyxxx LDD xedyyedxeedeed =+=+ ?. 五、已知 2 1 x
7、x yxee=+ ， 2 xx yxee=+ ， 2 3 xxx yxeee=+ 是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知： 2x e 与 x e 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 x xe 是非齐次的一个特解.因此可 以用下述两种解法 解法一： 故此方程式 2( )yyyf x= 将 x yxe= 代入上式，得 ( )()()2222 xxxxxxxxxx f xxexexeexeexexeexe=+= ， 因此所求方程为 22 xx yyyexe= . 解法二：故 2 12 xxx yxec ec e=+
8、，是所求方程的通解， 由 2 12 2 xxxx yexec ec e = + ， 2 12 24 xxxx yexec ec e = + ，消去 12 ,cc 得所 求方程为 22 xx yyyexe= . 六、设抛物线 2 2lnyaxbxc=+ 过原点，当 0 1x 时， 0y ，又已知该抛物 线与x轴及直线 1x= 所围图形的面积为 1 3 . 试确定 ,a b c 使此图形绕 x轴 旋转一周而成的旋转体的体积V最小. 解： 因抛物线过原点，故 1c = 由题设有 1 2 0 1 () 323 ab axbx dx+=+= .即 2 (1) 3 ba= ， 而 1 2222 0 111
9、 () 523 Vaxbx dxaabb=+=+ 22 111 4 (1)(1) 533 9 aaaa=+ . 令 2128 (1)0 53327 dv aaa da =+= ， 得 5 4 a = ，代入 b的表达式 得 3 2 b = . 所以 0y ， 又因 2 5 2 4 2284 |0 5327135 a d v da = =+= 及实际情况， 当 53 ,1 42 abc= = 时，体积最小. 七、已知 ( ) n ux 满足 1 ( )( ) nx nn uxuxxe =+ （n为正整数） ， 且 (1) n e u n = ，求函数项级数 1 ( ) n n ux = 之和.
10、解：先解一阶常系数微分方程，求出 ( ) n ux 的表达式，然后再求 1 ( ) n n ux = 的 和. 由已知条件可知 1 ( )( ) nx nn uxuxxe = 是关于 ( ) n ux 的一个一阶常系数线 性微分方程，故其通解为 1 ( )()() n dxdx nxx n x uxexe edxcec n =+=+ ， 由条件 (1) n e u n = ，得 0c= ，故 ( ) nx n x e ux n = ， 从而 111 ( ) nxn x n nnn x ex uxe nn = = . 1 ( ) n n x s x n = = ， 其 收 敛 域 为 1, 1)
11、 ， 当 ( 1, 1)x 时 ， 有 1 1 1 ( ) 1 n n s xx x = = ， 故 0 1 ( )ln(1) 1 x s xdtx t = 当 1x= 时， 1 1 ( )ln2 n n uxe = = . 于是，当 11x 0 sxn n Iex dx + =(1,2,n)=?. 解解 因为时， 0s lim0 sxn x ex + =，所以， 1 000 11 nsxnsxsxn nn n Ix dex eedxI ss + s = = = 由此得到， 120 1 1! nnn nn nn nnn IIII sssss ! + =? 1 (4) 设函数 f ( t )有二
12、阶连续的导数， 22 rxy=+， 1 ( , )( )g x yf r =，求 22 22 . gg xy + 解解 因为, rxry xryr = ，所以 3 1 ( ) gx f xrr = ， 2222 265 121 ( )( ). gxxy ff xrrrr =+ 利用对称性， 22 2243 1111 ( )( ) gg ff xyrrrr +=+ (5) 求直线 1 0 : 0 xy l z = = 与直线 2 21 : 42 xyz l 3 1 = 的距离. 解解 直线 的对称式方程为 1 l 1: 110 xyz l=. 记两直线的方向向量分别为 ， 两直线上的定点分别为和
13、， . 1 (10)l = ? aP= ? ? ,1, 12 P ? 2 (4, 2, 1)l = ? ? (2,1,3) 1(0,0,0) P 2(2,1,3) P 12 ( 1,1, 6)ll= ? ? . 由向量的性质可知，两直线的距离 12 12 ()| 21 18|191 21 13638 all d ll + = + + ? ? ? ? 9 二（本题共 15 分） 、 设函数在)(xf)(+,上具有二阶导数，并且 ( )0,fxlim( )0 x fx + =，lim x ( )fx0 =必有一个充分大的，使得 0 xa ( )0fa. ( )0fx知是凹函数，从而( )yf x=
14、( )( )( )()()f xf af a xaxa+ 当x +时，()( )()ffa xa+ + +. 故存在，使得 ab （6 分） ( )( )( )()0f bf afa ba+ 2 同样，由lim( )0 x fx =知是凹函数，从而( )yf x=( )( )( )()()f xf cf c xcxc+ 在 0 , x b 和利 用 零 点 定 理 ， 0 ,d x 10 (, )xx b ， 2 ( ,) 0 xd x使 得 （12 分） 1 () 2) 0=(f xf x 下面证明方程在0)(=xf)(+,只有两个实根. 用反证法. 假设方程0)(=xf在)(+, 232 x ,x 内有三个实根，不妨设为， 且. 对在区间和上分别应用洛尔定理，则各至少 存在一点（ 321 x ,x ,x 321 xxx)(=x
