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1、1,一、矩阵秩的概念,二、矩阵秩的求法,第四节,矩阵的秩及其求法,第二章,三、满秩矩阵,2,1. k 阶子式,定义1 设,在A中任取k 行k 列交叉,称为A的一个k 阶子式。,阶行列式，,处元素按原相对位置组成的,一、矩阵的秩的概念,3,例如,矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素,所构成的二阶子式为,而,为 A 的一个三阶子式。,显然，,矩阵 A 共有,个 k 阶子式。,4,2. 矩阵的秩,有r 阶子式不为0，任何r+1阶,记作R(A)或秩(A)。,子式(如果存在的话)全为0 ,定义2,称r为矩阵A的秩，,5,规定： 零矩阵的秩为 0 .,注意：,(1) 如 R ( A ) = r，则
2、 A 中至少有一个 r 阶子,式,所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶,子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.,(2) 由行列式的性质，,(3) R(A) m, R(A) n, 0 R(A) min m , n .,(4) 如果 Ann , 且,则 R ( A ) = n .,反之，如 R ( A ) = n ,则,因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .,6,二、矩阵秩的求法,1、子式判别法(定义)。,例1,设,为阶梯形矩阵，,求R(B)。,解,存在一个二阶子式不为0，而,任何三阶子式全为0，,则 R(B) = 2.,结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。,7
3、,例如,一般地，,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”,非零行的行数。,8,如果,求 a .,解,或,例2 设,9,则,例3,10,2、用初等变换法求矩阵的秩,定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。,即,则,说明：,只改变子行列式的符号。,是 A 中对应子式的 k 倍。,是行列式运算的性质。,由于初等变换不改变矩阵的秩，,而任一,都等价,于行阶梯矩阵。,其秩等于它的非零行的行数，即为,所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。,11,例4,解,R(A) = 2,，,求,12,例5,13,三、满秩矩阵,称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）,称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）,可见：,A 为 n 阶方阵时
4、，,定义3,14,定理3,设A是满秩方阵，则存在初等方阵,使得,对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：,每对A施行一次初等行变换，,相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的,定理,15,例如,它的行最简形是 n 阶单位阵 E .,对于满秩矩阵A，,A为满秩方阵。,16,定理5,R(AB),R(A),R(AB),minR(A)，R(B)。,关于矩阵的秩的一些重要结论：,性质1,性质2 如果 A B = 0 则,性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。,17,设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)n,证：, (A+E)+(E-A)=2E, R(A+E)+ R(E-A) R(2E)=n,而 R(E-A )=R( A-E), R(A+E)+R(A-E)n,例8,18,作业,P109 1 2 3,
