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1、第2课时 不等式的性质,【知识提炼】 不等式的性质 性质1对称性：ab_. 性质2传递性：ab，bc_. 性质3可加性：ab_.,ba,ac,a+cb+c,性质4可乘性： _， _. 性质5同向可加性： _. 性质6同向同正可乘性： _. 性质7可乘方性：ab0_(nN，n1). 性质8可开方性：ab0 (nN，n2).,acbc,acbc,a+cb+d,acbd,anbn,【即时小测】 1.判断 (1)abac2bc2.( ) (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( ) (3)若ab0，则ab .( ),【解析】(1)错误.当c=0时，由ab推不出ac2bc2. (2)错误.同向不等式
2、相加时，已知数可以为任意实数， 同向不等式相乘时，要求已知数是正数. (3)正确.因为ab0，所以ab的两边同除以ab可得 即 反之， 的两边同乘以ab可得bb. 答案：(1) (2) (3),2.设a，b，cR，且ab，则( ) A.acbc B. C.a2b2 D.a3b3 【解析】选D.若c0，则A错；若a0，b0，则B错；若a=0，b=-1，则C错，选D.,3.如果a，b，c满足cac B.c(b-a)0 C.cb20，b-a 0， 所以A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b=0时C不正确.,4.若xy，ab，则a-xb-y；a+xb+y；axby；x-by-a.这四个式子中，恒成立
3、的不等式的序号是_.,【解析】因为xy，ab，所以-b-a， 所以a+xb+y；x-by-a. 当x=1，y=-1，a=1，b=-1时，a-x = b-y=0，ax = by=1，故错误. 答案：,5.若a(60，84)，b(28，33)，则 _. 【解析】因为b(28，33)，所以 又60a84，所以 答案：,【知识探究】 知识点 不等式的性质 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：哪些不等式的性质是“双向”的？ 问题2：哪些不等式的性质要求已知数为正数？,【总结提升】 1.对不等式的性质的六点说明 (1)性质1和2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义
4、”等知识.,(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据. (3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.,(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”. (5)性质6，7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式.,(6)性质7，8可并为函数y=xn(n0)在(0，+)上递增. (7)性质1，3是单向推导，其他是“双向”推导.,2.对利用不等式的性质证明不等式的说明 (1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b0a
5、b；a-b=0a=b；a-b0ab.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.,(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系. (3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.,【题型探究】 类型一 利用不等式的性质判断或证明不等式 【典例】1.(2014四川高考)若ab0，cbc，求证：,【解题探究】 1.典例1中，如何判断 的大小关系？要构造出 的关系，需要进行什么运算？ 提示：在不等式cd两边同除以cd，可以判断 的 大小关系.同向不等式相乘可以构造出
6、的关系.,2.典例2中，证明的基本步骤是什么？ 提示：先确定 ，再根据b-c0证得.,【解析】1.选D.方法一：因为cb0对应相乘得， 所以 方法二：令a=3，b=2，c=-3，d=-2， 则 排除选项A，B； 又 所以 所以选项C错误，选项D正确.,2.因为abc，所以-c-b， 所以a-ca-b0，所以 所以 又因为b-c0，所以 所以,【方法技巧】 1.运用不等式的性质判断真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质. (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计
7、算.,2.利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 (1)实质：利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式变形. (2)注意点：记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；,应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.,【拓展延伸】不等式中的倒数性质 (1)ab，ab0 (2)ab0，0cd (4)0axb或axb0,【变式训练】已知ab0，cd0，求证： 【证明】因为ab0，cd0， 所以acbd0. 又因为cd0，所以 0. 所以ac bd 0， 即 所以,【补偿训练】若ab0，cd0，e0
8、， 求证： 【证明】因为cd0，所以-c-d0. 又因为ab0，所以a-cb-d0. 所以(a-c)2(b-d)20. 所以0 又因为e0，所以,类型二 利用不等式的性质比较大小 【典例】设a0，b0且ab，P=aabb，Q=abba，试比较P与Q的大小.,【解题探究】本例中，为了比较P与Q的大小需要用什么方法？ 提示：需要用作商法，先比较 与1的大小关系，再由不等式的性质得出P与Q的大小关系.,【解析】因为a0，b0，所以P0，Q0， 因为 =aa-bbb-a= ab， 所以当ab0时， 1，a-b0，则 1，于是PQ. 当ba0时，01，于是PQ. 综上所述，对于不相等的正数a，b，都有P
9、Q.,【延伸探究】 1.(变换条件)本例条件改为 结果如何？ 【解析】 因为(x+2)(x+5)-(x+3)(x+4)=-20，且x-2，,所以0(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)， 所以 所以P2Q2，又因为P0，Q0，所以PQ.,2.(变换条件、改变问法)本例条件改为已知a0，且 a1， 试比较log0.5 与log2 的大小. 【解析】 (1)当a1时，a2(a-1)0，所以,(2)当01，所以log0.5 0，log2 0， 所以log0.5 log2 .,【方法技巧】比较大小的常用方法 (1)作差法. 作差后通过分解因式、配方等手段，充分利用a2，|a|， 的非负性判断差的符号
10、，然后根据以下结论判断大 小：若A-B0，则AB；若A-B=0，则A=B；若A-B0，则 AB.,(2)作商法. 借助不等式的性质4可得如下结论： 若B0， 1，则AB；若B1，则Ab，bc，则ac，一般选择0或1为中间量.,(4)乘方转化法. 对于两个根式大小的比较，可以利用ab0anbn (nN，n1)，ab0 (nN，n2)转化 后比较大小.,【补偿训练】已知a0且a1，p=loga(a3+1)，q=loga(a2+1)，比较p与q的大小.,【解析】p-q=loga(a3+1)-loga(a2+1) 当a1时，a3+1a2+1，所以 1，所以loga 0； 当00. 总之，p-q0，所以
11、pq.,【延伸探究】 1.(变换条件)本题条件改为a1，p= 和 q= 结果如何？ 【解析】因为p-q=,因为a1，所以0a-10， 所以p-q0.即pq.,2.(变换条件、改变问法)本题条件改为a0，p=aa，q=3a，且pq，试求a的取值范围.,【解析】因为q=3a0，且pq. 所以 当03时， 1，则 1，即pq. 综上知，a3.,类型三 利用不等式的性质求取值范围 【典例】1.设实数x，y满足3xy28，4 9， 则 的取值范围是_. 2.已知-6a8，2b3，分别求2a+b，a-b， 的范围.,【解题探究】 1.典例1中， 与 的关系是什么？求范围的步骤 是什么？ 提示：由 可先求
12、和 的范围，再求 的范围.,2.典例2中，求2a+b，a-b， 的取值范围的基本步骤 分别是什么？ 提示：对于2a+b的范围可先求2a的取值范围，再求2a+b 的取值范围；对于a-b的范围可先求-b的取值范围，再 求a-b的取值范围；对于 的范围可先求 的取值范围， 再求 的取值范围.,【解析】1. ，由4 9，3xy28， 得16( )281， 得2 27. 答案：2，27,2.因为-6a8，所以-122a16. 又2b3，所以-102a+b19. 因为2b3，所以-3-b-2. 又-6a8，所以-9a-b6. 因为2b3，所以,(1)当0a8时，0 4； (2)当-6a0时，-3 0. 综
13、合(1)(2)得-3 4.,【延伸探究】本典例2条件改为12a60，15b36，结果如何？ 【解析】因为12a60，所以242a120. 又因为15b36，所以392a+b156， 即2a+b的取值范围是(39，156). 因为15b36，所以-36-b-15.,又因为12a60， 所以12-36a-b60-15，所以-24a-b45， 即a-b的取值范围是(-24，45). 即 的取值范围是,【方法技巧】利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化
14、不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.,【变式训练】已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0，且abc，求 的取值范围.,【解析】因为f(1)=0，所以a+b+c=0， 所以b=-(a+c).又因为abc， 所以a-(a+c)c，且a0，c0. 所以 即,【补偿训练】已知函数f(x)=ax2+bx，且1f(-1)2， 2f(1)4，求f(-2)的取值范围.,【解析】 所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又因为1f(-1)2，2f(1)4， 所以53f(-1)+f(1)10，故5f(-2)10.,易错案例 利用不等式的性质求代数式的取
15、值范围 【典例】(2015宁波高一检测)若- ， 则-的取值范围是 ( ) A.(-，) B.(0，) C.(-，0) D.0,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是忽略了这个条件.实际上，-0.,【自我矫正】选C.因为- ，- - ， 所以-. 又因为，所以-0，所以-0.,【防范措施】 1.注意变量之间的内在联系 在研究范围问题时，一定要看清变量间有无内在联系，要准确确定独立变量，以免产生错误范围.,2.关注不等式性质的应用条件 利用不等式的性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘.对于异向不等式可利用不等式的对称性或在不等式的两边同乘以-1转化为同向不等式.,
