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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第九讲 三角形（二）91直角三角形基础盘点1有一个内角_的三角形是直角三角形，直角三角形两锐角_2在直角三角形中，30角对的直角边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于_4勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a和b，斜边为c，则_，即，直角三角形_平方和等于_.5如果三角形三边a、b、c满足_，那么这个三角形是直角三角形考点呈现 考点1 直角三角形两锐角互余例1（2015常州）如图1，BCAE于点C，CDAB，B40，则ECD的度数是 ( )A.70 B.60
2、 C.50 D.40 图1解析：由题意知，ABC是直角三角形，且B40，所以A=90-4050，再根据“两直线平行，同位相等”可得ECDA=50.故选C评注：“直角三角形两锐角互余”揭示了直角三角形两锐角的关系，多与平行线的性质结合求角的度数 考点2 含30角的直角三角形的性质例2（2015青岛）如图2，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DE=1，则BC等于 ( )A. B.2 C.3 D.+2 图2解析：在RtBDE中，根据“直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半”，可求得BD=2BE=2，再根据角平分线性质定理，求得CD=ED=1，所以B
3、C=CD+BD=3.故选C评注：含30角直角三角形的性质通常用于求三角形的边和角，也是证明线段倍分问题的重要依据 考点3 直角三角形斜边上的中线例3（2015宿迁）如图3，在RtABC中，ACB=90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点若CD=5，则EF的长为_ 图3解析：根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得AB=2BC=10，再根据三角形中位线定理，可得EF=5，故EF=5评注：若题目的条件中给出直角三角形斜边上的中线，通常利用直角三角形的性质求得斜边长，从而为问题的进一步解决提供必要的条件 考点4 勾股定理例4 （2015西宁）如图4，RtABC中，B=90，AB=4，
4、BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_ 图4解析：先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4x，在RtBCD中，根据勾股定理可得,即x2=32+（4x）2，解得x=，即CD=.评注：在运用勾股定理解决一些问题时，常需要与方程相结合运用方程思想，能使思路开阔，方法简便 考点5 勾股定理的逆定理例5 （2015桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是 （ ）A.30，40，50 B.7，12，13 C.5，9，12 （）3，4，6解析：在A选项中，302+402=502，所以这三条线段能组成三角形，故选A.
5、评注：在利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形时，只要看较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可误区点拨 1受思维定式影响，认为c边一定是斜边例1 在ABC中，A，B,C的对边分别是a,b,c，若，则有 （ ）A. A为直角 B.B为直角 C.C为直角 D.不是直角三角形错解：C剖析：错解受定式影响，认为C为直角，事实上，已知条件可转化为，所以A为直角.故正确答案为A.评注：勾股定理为了表述方便，通常设C为直角，具体解题时，应根据题目中给出的条件确定直角 2忽视分类讨论致错例2 一直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为 （ ）A.5 B. C. D.5或错解：A剖析：条件中并没
6、有指出已知的两边是直角边，所以应利用分类讨论的思想：当3和4是直角边时，第三边长为5；当3和4中有一边为斜边时，第三边长为，故应选D评注：在解涉及直角三角形边的问题，而题目中没有给出图形的情况下，要有分类讨论的意识，以免造成漏解跟踪训练1（2015毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 （ ）A.， B.1， C.6，7，8 D.2，3，42（2015宜昌）如图，ABCD，FEDB，垂足为E，1=50，则2的度数是 （ ）A. 60 B.50 C.40 D.30第3题图第2题图3（2015大连）如图，在ABC中，C=90，AC=2，点D在BC上，ADC=2B，A
7、D=，则BC的长为 （ ）A.1 B.+1 C.1 D.+14.（2015枣庄）如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点若AD=6，DE=5，则CD的长等于_ _第5题图第4题图5.（2014苏州）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4设AB=x，AD=y，则的值为_第7题图6.（2015遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S
8、3若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=_第6题图7.如图，在RtABC中，C=30，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DEAC于点E若DE=a，则ABC的周长用含a的代数式表示为 第8题图8.（2015湘潭）如图，在RtABC中，C=90，ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度92解直角三角形基础盘点1. 在ABC中，C=90，三个内角对边分别为a，b，c，则有_； _；_.2.特殊角的三角函数值.三角函数304560lh3.视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线_的角叫做仰角，视线在水平线_的角叫做俯角.4.
9、如图，把_与_的夹角叫做坡角（如图中的）.坡面的_与_的比叫做坡度（也叫坡比），用字母表示为i=_=_考点呈现 考点1 锐角三角函数例1（2015丽水）如图1，点A为边上的任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是 （ ）A. B. C. D. 图1解析：在RtABC中，cos=；在RtDBC中，cos=；易得ACD=，在RtACD中，cosACD=cos=，故错误的应选C评注：本题考查了锐角余弦的意义，难度不大，关键是弄清各个三角函数与直角三角形三边的关系 考点2 特殊角三角函数值例2 (2015平凉)已知，均为锐角，且满足|sin|0，则_解析：因为条
10、件中给出了两个非负数的和等于零，所以每一个非负数都等于零，即|sin|=0，且=0，由此可得sin=，tan=1，故=30，=45，所以75评注：本题考查了由特殊角的三角函数值，求角的度数，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键；同时本题也考查了“几个非负数之和为零，则每个非负数都等于零”这一性质 考点3 解直角三角形例3（2015襄阳）如图2，AD是ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=求：BC的长；sinADC的值 图2分析：本题条件中给出了一些角的三角函数值，做可考虑作辅助线，构造直角三角形求解，过点A作AEBC于点E，即可将ABC分成两个直角三角形，并将题目中的条件充分利用起来
11、；根据AD是ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，从而求得sinADC的值解：如图2，过点A作AEBC于点E，cosC=，C=45.在RtACE中，CE=ACcosC=1.AE=CE=1.在RtABE中，tanB=，即=，BE=3AE=3，BC=BE+CE=4.AD是ABC的中线， CD=BC=2.DE=CDCE=1.AECD，ADC=45.sinADC=评注：在利用解直角三角形的知识解决斜三角形的问题时，通常需要作辅助线，构造直角三角形，从而将问题解决 考点4 解直角三角形的应用例4（2015黔南州）如图3是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CBDB，坡面AC的倾斜角为45为了方
12、便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732） 图3分析：先根据题目中给出的条件，求出AB的长，在RtBCD中，根据新的坡面坡度的意义，求出DB的长，由AD=DBAB，求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果解：需要拆除.理由如下：CBAB，CAB=45，ABC为等腰直角三角形，AB=BC=10米.新坡面DC的坡度为，即，解得DB=10，AD=BDAB=（1010）米7.32米.3+7.32=10.3210，需要拆除评注：本题考查坡度坡角问题，掌握它们的概念及之间的关系是解题的关键.例5 （2015昆明）如图4，两幢建筑物AB和CD，ABBD，CDBD，AB15m，CD20m，AB和CD之间有一观景池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42，在C点测得E点的俯角为45（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑
