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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第十二讲 圆12.1圆的性质基础盘点1.圆是 的集合.2圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 图形， 是它的对称中心.3垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分 .4如果在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5同弧或等弧所对的圆周角 ；半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 .6.圆内接四边形的对角 .考点呈现 考点1 圆
2、周角与圆心角的关系例1 （2015眉山）如图1，O是ABC的外接圆，ACO=45，则B的度数为（ ）A.30 B.35 C.40 D.45图1图2解析：如图2，连接OA.因为OA=OC，ACO=45，所以OAC=45，所以AOC=1804545=90.所以B=AOC=45故选D图3评注：熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”是解答此题的关键考点2 圆内接四边形的性质例2 （2015常德）如图3，四边形ABCD为O的内接四边形.已知BOD100，则BCD的度数为（ ）A.50 B.80 C.100 D.130解析：因为BOD100，所以A=50，所以B
3、CD=180-A=180-50=130.故选D.评注：本题用到了圆周角与圆心角的关系及圆内接四边形的对角互补的性质.考点3 垂径定理例3 （2015衢州）一条排水管的截面如图4所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD等于 m.解析：如图5，连接OC，过点O作OEAB于点E，交CD于点F，则OECD，AE=BE，CF=DF.因为OA=1，AB=1.2，所以AE=0.6，所以OE=0.8（m）.因为下雨后，水管水面上升了0.2m，即EF=0.2m，所以OF=0.6m.所以CF=0.8（m）.所以CD=2CF=1.6（m）.
4、评注：作出辅助线OEAB构造直角三角形是解答本题的基本思路，而首先利用勾股定理求出OE进而得到OF是关键的一步，然后利用勾股定理求出CF.图4图5考点4 圆的性质的综合应用例4 （2015威海）如图6，在ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交AB于点D，交BC于点E（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长图6图7分析：对于第（1）问，连接AE，根据圆周角定理，由AC为直径得到AEC=90，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；对于第（2）问，要先连接DE，证明BEDBAC，然后利用相似三角形的性质可计算出AB的长，从而得到AC的长解：（1）连接AE，如图7.因为A
5、C为O的直径，所以AEC=90，所以AEBC.又AB=AC，所以BE=CE.（2）连接DE，CD,如图7.因为BE=CE=3，所以BC=6.因为AC为O的直径，所以ADC=90.所以BAC=90-ACD.因为BED=90-DEA, DEA=ACD,所以BED=BAC.又因为DBE=CBA，所以BEDBAC，所以，即，所以BA=9，所以AC=BA=9评注：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用. 误区点拨 1对圆内接四边形的概念理解不清致错例1 （2015临沂）如图8，A，B，C是O上的三个点
6、，若AOC=1000，则ABC等于( )A.50 B.80 C.100 D.130图9图8错解：B图10剖析：此题主要考查圆内接四边形的对角的性质，解答的前提是正确理解圆内接四边形的概念.圆内接四边形的四个顶点都要在圆上，本题中的点O不在O上，所以不能利用“对角互补”的性质.错解的原因就在于没有搞清楚概念的本质.正确的解答为：如图9，因为AOC=100，所以D=AOC=50，因为圆内接四边形的对角互补，所以ABC=180-50=130.故选D. 2忽视分类讨论致错例2 （2015绍兴）在RtABC中，C=90，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB. 若PB=4，
7、则PA的长为 .错解：3剖析：本题应分两种情况，如图10所示，当点P与点A在BC同侧时，四边形BCAP1是矩形，P1A=BC=3；当点P与点A在BC异侧时，四边形P2EAP1是矩形，P1A=.所以PA的长为3或.跟踪训练1.（2015泰安）如图，O是ABC的外接圆，B=60，O的半径为4，则AC的长等于（ ）A B C D8第1题图第2题图2.（2015上海）如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A.ADBD B.ODCD C.CADCBD D.OCAOCB3.（2015丽水）如图，圆心角AOB=20，将AB旋转
8、得到CD，则CD的度数是 度.4.（2015绍兴）如图，已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则BAC等于 度.第5题图第3题图第4题图5.（2015台州）如图，四边形ABCD内接于O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.（1）若CBD=39，求BAD的度数；（2）求证：1=2.12.2 与圆有关的位置关系基础盘点1点和圆的位置关系有三种：点在 、点在 和点在 .2.直线和圆的位置关系有三种：（1）如果一条直线与一个圆 公共点，那么就说这条直线与这个圆 ；（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线就做圆的
9、 ，这个公共点叫做切点；（3）如果一条直线与一个圆有 个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线就做圆的 ，这两个公共点叫做 点.3.圆的切线 于经过切点的 ；经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线.4.过圆外一点可以引圆的 切线，其 相等.5.经过三角形的三个顶点可以确定一个圆，该圆的 是这个三角形的外心；和三角形各边都相切的圆是三角形的 ，其圆心叫做三角形的内心.考点呈现考点1 点和圆的位置关系例1 （2015上海改编）在矩形ABCD中，AB5，BC12如果点B在D内，那么D的半径长可以等于_(只需写出一个符合要求的数)解析：BD=13，要保证点B在D内，那么D的半径长应大
10、于13.这样的数有无数个，只要是大于13的数就可以.例如14就符合要求.评注：点和圆的位置关系有三种，要保证一个点B在D内，那么点B到圆心D的距离应小于D的半径.考点2 三角形的外接圆和内切圆例2 2015台州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆的半径为（ ）A. B.2-2 C.2- D.-1解析：如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB=90,D为外接圆，可知D为AB的中点，因此AD=2，AB=2AD=4，根据勾股定理可求得AC=2.根据内切圆性质可知，四边形EFCG是正方形，AF=AD，因此EF=FC=AC-AF=2-2.故选B.图1评注：首先根据等腰直角三角形的外接圆半径的
11、长为2，求出等腰三角形的腰长，然后根据内切圆判定出四边形EFCG为正方形是考点3 切线长定理例3 （2015南京）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点，过点D作O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )A. B. C. D.2图2解析：如图2，连接OE，OD，ON，OF.因为AB=4，所以O的半径为2.易证四边形AEOF是正方形，所以AE=AF=BF=2.由切线长定理，得DN=DE=AD-AE=5-2=3，BG=BF=2.设MN=MG=x，则CM=BC-BG-MG=3-x，DM=DN+MN=3+x.因为DM2=DC2+CM2，所以(
12、3+x)2=42+(3-x)2，所以x=,所以DM=3+=.故选A.评注：本题由切线长定理得出DN=DE及MN=MG，并利用勾股定理建立方程是.考点4 切线的性质例4 （2015舟山）如图3，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为（ ）A. 2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6D图3解析：如图3，作CDAB于D,则CD是C的半径.因为52=32+42，即AB2=BC2+AC2，所以ABC是直角三角形.所以由面积公式，得ABCD=ACBC，即5CD=43，所以CD=2.4，即O的半径为2.4.故选B.评注：由切线的性质得到CD为半径是关键.例5
13、（2015资阳）如图4，在ABC中，BC是以AB为直径的O的切线，且O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是O的切线；图4（2）连接AE，若C=45，求sinCAE的值.解析：（1）如图4，连接OD，BD，则OD=OB，所以ODB=OBD因为AB是直径，所以ADB=90，所以CDB=90因为E为BC的中点，所以DE=BE，所以EDB=EBD.所以ODB+EDB=OBD+EBD，即EDO=EBO因为BC是以AB为直径的O的切线，所以ABBC，所以EBO=90.所以ODE=90，所以DE是O的切线.（2）如图4，作EFCD于F，设EF=x.因为C=45，所以CEF，ABC都是等腰直角三角形，所以CF=EF=x，所以BE=CE=x，所以AB=BC=2x.在RtABE中，AE=x，所以sinCAE=评注：本题属于圆的综合问题，主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理等知识. 误区点拨1对切线的
