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1、2017 年全国卷 2 理科数学试题及答案解析 1 绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷全国卷 2 理科数学理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用
2、涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 3 1 i i （ ） A1 2i B1 2i C2i D2i 2. 设集合1,2,4A， 2 40Bx xxm若1AB ，则B （ ） A1, 3 B1,0 C1,3 D1,5 3. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层 中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏
3、4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一 平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 90 B63 C42 D36 2017 年全国卷 2 理科数学试题及答案解析 2 5. 设x，y满足约束条件 2330 2330 30 xy xy y ，则2zxy的最小值是（ ） A15 B9 C1 D9 6. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安 排方式共有（ ） A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 7. 甲、乙、丙、 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说： 你们
4、四人中有 2 位 优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ） A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a ，则输出的S （ ） A2 B3 C4 D5 9. 若双曲线C: 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的一条渐近线被圆 2 2 24xy 所截得的弦长为 2，则C的离心率为（ ） A2 B3 C2 D 2 3 3 2017 年全国卷 2 理科数学试题及答案解析 3 10. 已知直三棱柱 1
5、11 ABCABC中，C120，2， 1 CCC1，则异面直 线 1 与 1 C所成角的余弦值为（ ） A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 11. 若2x 是函数 21 ( )(1) x f xxaxe 的极值点，则( )f x的极小值为（ ） A.1 B. 3 2e C. 3 5e D.1 12. 已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点， 则()PAPBPC的最 小值是（ ） A.2 B. 3 2 C. 4 3 D.1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 一批产品的二等品率为0.02， 从这批产品中每次随机取一件， 有放回
6、地抽取100次， 表示抽到的二等品件数，则D 14. 函数 2 3 sin3cos 4 f xxx（0, 2 x ）的最大值是 15. 等差数列 n a的前项和为 n S， 3 3a ， 4 10S ，则 1 1 n k k S 16. 已知F是抛物线C： 2 8yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点 若 为F的中点，则FN 三、 解答题： 共 70 分。 解答应写出文字说明、 解答过程或演算步骤。 第 1721 题为必做题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） ABC的内角ABC、 、所对的边分别为,
7、 ,a b c，已知 2 sin()8sin 2 B AC， （1）求cosB； （2）若6ac，ABC的面积为 2，求b 18.（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 2017 年全国卷 2 理科数学试题及答案解析 4 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下： （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立， 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新 养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计A的概率； （2） 填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量50kg 箱产量
8、50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图， 求新养殖法箱产量的中位数的估计值 （精确到 0.01） 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 19.（12 分） 如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， o 1 ,90 , 2 ABBCADBADABC E是PD的中点. （1）证明：直线/ /CE 平面 PAB （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为 o 45 ，求二面角 MABD的余弦值 P（2 ） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2017 年全
9、国卷 2 理科数学试题及答案解析 5 20. （12 分） 设O为坐标原点，动点M在椭圆C： 2 2 1 2 x y上，过M做x轴的垂线，垂足 为N，点P满足2NPNM. （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线3x 上，且1OP PQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过 C的左焦点F. 21.（12 分） 已知函数 2 lnf xaxaxxx，且 0f x 。 （1）求a； （2）证明： f x存在唯一的极大值点 0 x，且 22 0 2ef x . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一 题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方
10、程（10 分） 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲 线 1 C的极坐标方程为cos4 （1）M为曲线 1 C上的动点， 点P在线段OM上， 且满足| | 16OMOP,求点P的 轨迹 2 C的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为(2,) 3 ，点B在曲线 2 C上，求OAB面积的最大值 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知 33 0,0,2abab，证明： 2017 年全国卷 2 理科数学试题及答案解析 6 （1） 55 ()()4ab ab； （2）2ab 2017 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷年普通高等学校招生全国统一考试全
11、国卷 2 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、选择题： 1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B 二、填空题： 13. 1.96 14. 1 15. 2 1 n n 16. 6 三、解答题： 17.（12 分）解： （1）由题设及ABC得 2 sin8sin 2 B B ，故 sin4 1 cosBB（） 上式两边平方，整理得 2 17cos32cos150BB 解得 15 cosB=cosB 17 1（舍去），= （2）由 158 cosBsinB 1717 =得，故 14 sin 217 ABC SacB
12、ac 又 17 =2 2 ABC Sac ，则 由余弦定理及a6c得 2222 b2cos()2(1 cos )acacBacacB 1715 362(1)4 217 所以2b 18.（12 分） 解： （1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”， C表示事件“新养殖法的箱产量不低 于 50kg”. 由题意知( )()( ) ( )P AP BCP B P C 2017 年全国卷 2 理科数学试题及答案解析 7 旧养殖法的箱产量低于 50kg的频率为 (0.0120.0140.0240.0340.040) 50.62 ， 故( )P B的估计值为 0.62 新养殖法的箱产量不低于 5
13、0kg的频率为 (0.0680.0460.0100.008) 50.66 ， 故( )P C的估计值为 0.66 因此，事件A的概率估计值为0.62 0.660.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 2 2 200 (62 6634 38) 15.705 100 100 96 104 K 由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为 (0.0040.0200.044) 50.340.5 ， 箱产量低于5
14、5kg的直方图面积为 (0.0040.0200.0440.068) 50.680.5 ， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.50.34 5052.35() 0.068 kg 19.（12 分） 解： （1）取PA的中点F，连接,EF BF， 因为E是PD的中点， 所以/ /EFAD， 1 2 EFAD 由90BADABC 得/ /BCAD， 2017 年全国卷 2 理科数学试题及答案解析 8 又 1 2 BCAD， 所以/ /EFBC， 四边形BCEF是平行四边形，/ /CEBF， 又BF 平面PAB，CE 平面PAB， 故/ /CE平面PAB （2）由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 (0,0,0), (1,0,0),(1,1,0), (0,1, 3)ABCP， (1,0,3),(1,0,0)PCAB 设( , , )(01)M x y zx，则 (1, , ),( ,1,3)BMxy z PMx yz 因为BM与底面ABCD所成的角为45，而(0,0,1)n 是底面ABCD的
