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1、第三十四讲第三十四讲 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 回归课本回归课本 1.1.算术平均数算术平均数 如果如果a,bRa,bR+ +, ,那么那么 叫做这两个正数的算术平均数叫做这两个正数的算术平均数. . 2.2.几何平均数几何平均数 如果如果a,bRa,bR+ +, ,那么那么 叫做这两个正数的几何平均数叫做这两个正数的几何平均数. . 2 ab ab 3.3.重要不等式重要不等式 如果如果a,bR,a,bR,则则a a2 2+b+b2 22ab2ab( (当且仅当当且仅当a=ba=b时时, ,取“取“=”);=”); 均值定理均值定理: :如果如果a,bRa,bR+ +, ,那么那
2、么 ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时时 , ,取“取“=”).=”). 均值定理可以叙述为均值定理可以叙述为: :两个正实数的算术平均数大于或等于两个正实数的算术平均数大于或等于 它们的几何平均数它们的几何平均数. . 2 ab ab 2 22 2 22 22 (1);(2);(3)2(0); 22 (4) 4. a ;(5)2() b . 22 . ababba ababab ab abab abab 变式形式 上述不等式 中等号成立的充要条为 件均 5.5.已知已知x x、y y都是正数都是正数, ,则则 (1)(1)若若x+y=S(x+y=S(和为定值和为定值),),则当则当x=yx
3、=y时时, ,积积xyxy取最大值取最大值 (2)(2)若若xy=P(xy=P(积为定值积为定值),),则当则当x=yx=y时时, ,和和x+yx+y取得最小值取得最小值 即两个正数的和为定值即两个正数的和为定值, ,则可求其积的最大值则可求其积的最大值; ;积为定值积为定值, ,则则 可求其和的最小值可求其和的最小值. .应用此结论要注意三个条件应用此结论要注意三个条件;“;“一正二一正二 定三相等”定三相等”, ,即即: : 各项或各因式为正各项或各因式为正; ;和或积为定值和或积为定值; ;各项或各因式都能各项或各因式都能 取得相等的值取得相等的值. . 2 1 . 4 S 2.P 考点
4、陪练考点陪练 1.1.函数函数y=logy=log2 2x+logx+logx x2 2的值域是的值域是( )( ) A.(A.(- -,- -22 B.2,+)B.2,+) C.C.- -2,22,2 D.(D.(- -,- -22,+)22,+) 答案答案:D:D 2.2.已知已知x+3y=2,x+3y=2,则则3 3x x+27+27y y的最小值为的最小值为( )( ) 答案答案:A:A 3 .6.3 9 .2 2.4 AB CD 2 2 2 3.:a12a;2;2; 1.() A.0B.1C.2 1 1 1 D.3 ab x xab x x 给出下列各式 其中正确的 个 数是 答案答
5、案:C:C 22 4.0a1,0b1,ab, . ( . ) .2.2 AabBab C abDab 设且下列各式中值最大的是 答案答案:B:B 22 22 .2.2 112 . 5.a0,b0,( .2 ) ab ABabab ba ba CabD ababab 设下列不等式中不成立的是 332222 2 :A,B ,Caba bababab 0abab0,C.Da 0,0,2 b1 2. . babab a ababa b 解析 由且得所以 成立 显然成立可变形为 所以 成立中令时不成 立 答案答案:D:D 类型一类型一 证明不等式证明不等式 解题准备解题准备: :证明不等式是均值不等式的
6、一个基本应用证明不等式是均值不等式的一个基本应用, ,注意分注意分 析不等式的左右两边的结构特征析不等式的左右两边的结构特征, ,通过拆通过拆( (添添) )项创设一个项创设一个 应用均值不等式的条件应用均值不等式的条件. .在解决本类问题时注意以下几点在解决本类问题时注意以下几点 :(1):(1)均值不等式成立的前提条件均值不等式成立的前提条件;(2);(2)通过加减项的方法配通过加减项的方法配 凑成算术平均数、几何平均数的形式凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3);(3)注意“注意“1”1”的代的代 换换;(4);(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用灵活变换基本不等式的形式
7、并注意其变形式的运用 . . 【典例典例1 1】证明证明:a:a4 4+b+b4 4+c+c4 4aa2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2abc(a+b+c).abc(a+b+c). 分析分析 利用利用a a2 2+b+b2 22ab(a,bR)2ab(a,bR)求证即可求证即可. . 证明证明aa4 4+b+b4 42a2a2 2b b2 2,b,b4 4+c+c4 42b2b2 2c c2 2, , c c4 4+a+a4 42c2c2 2a a2 2, , 2(a2(a4 4+b+b4 4+c+c4 4)2(a)2(a2 2b b2 2+b+b2 2c
8、c2 2+c+c2 2a a2 2),), 即即a a4 4+b+b4 4+c+c4 4aa2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2, , 又又a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 22ab2ab2 2c,bc,b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 22abc2abc2 2, , c c2 2a a2 2+a+a2 2b b2 22a2a2 2bc,bc, 2(a2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2)2(ab)2(ab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc),bc), 即即a a2 2b b2 2
9、+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2abab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc=abc(a+b+c).bc=abc(a+b+c). 即原命题可得证即原命题可得证. . 22 44222222 22 22 2 , . ab2ab(a,bR), (a,b). ,:ab2a b ,a bb c2 abbc , ab2ab,a,bR ; 22 . , 2 abab abab ab ab 反思感悟 证明不等式时 可依据求证式两端的式子结构 合理选择基本不等式及其变形不等式来证 如可变形为 正实数 可变形为等同时要从整体上 把握基本不等式 如 都是对“”的灵活运用本题先局部
10、运 用重要 不等式 ,( ), . 然后用不等式的性质 通过不等式相加 有时 相乘 综合推出要求证的不等式 这种证明方法在证明这类 轮换对称不等式时具有一定的普遍性 类型二类型二 求最值求最值 解题准备解题准备:1.:1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最 值值. . 2.2.应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式 , ,主要有主要有: : 222 22 2 1a,b0, 2x(0,),x(,0), xy); (ab); 4 abcabacb 2 . 11 22 11 2;2( (3 c
11、(ab ) ). 2 c abab ab ab xx xx ab ab 如果则 若则 若则当 且仅当时取等号 当且仅当时取等号 当且仅当时取 等号 2: 1a0,b0,4ab1,ab; 2x2,; 3x0,y0,xy1 4 2 , 4 . 9 x x xy 【典例 】解下列问题 已知且求的最大值 已知求的最小值 已知且求的最小值 142 44, 111 4, 282 111 , 41616 11 41 42, 44216 111 4, 28 1: a0,b0,4ab1, ,. ab : a0,b0,4ab1, 2 1 . 1 , 6 . ab ababab abab abab ab aba b
12、 abab 解解法一 当且仅当即时 等号成立 所以的最大值为 解法二 当且仅当即时 等号成立 所以的最大值为 444 222 (2)26 2x2,x20 , 222 4 2, 2 4 , x4. . 2 , 6 xxx xxx x x x x 当且仅当即时 等号成立 所以的最小值为 49494949 ()1313225, 2 1, , 49 5 3x0,y0,xy1, ,49 ,3 , 5 23 ,. 25. 55 49 yxyx xy xyxyxyxy xy x yx yx xy yxy xy xy 当且仅当时等号成立 由得 当时取等号 所以的最小为 值 1, . 2, 1.1 , 2, 3
13、1. 3xy2,11, 2 4949 2 ? . xy xy xyxy 反思感悟求最值时 要注意“一正 二定 三相等”一 定要明确什么时候等号成立 学好基本不等式 关键是灵活应用 添常数、配系数、 “”的代换是常用到的方法在本例中解法二采用了配 系数中采用了添常数中利用了“”的代换如果 中若则如何用“”的代换 显然故 类型三类型三 利用均值不等式解应用题利用均值不等式解应用题 解题准备解题准备: :均值不等式作为求最值的常用工具均值不等式作为求最值的常用工具, ,经常在有关最经常在有关最 优解的实际问题中应用优解的实际问题中应用. .应用均值不等式解决实际问题的应用均值不等式解决实际问题的 基
14、本步骤是基本步骤是: :仔细阅读题目仔细阅读题目, ,透彻理解题意透彻理解题意; ;分析实际分析实际 问题中的数量关系问题中的数量关系, ,引入未知数引入未知数, ,并用它表示其它的变量并用它表示其它的变量, , 把要求最值的变量设为函数把要求最值的变量设为函数; ;应用均值不等式求出函数应用均值不等式求出函数 的最值的最值; ;还原实际问题还原实际问题, ,作出解答作出解答. . 【典例典例3 3】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m200 m2 2的的 三级污水处理池三级污水处理池( (平面图如图所示平面图如图所示).).如果池四周围墙建造如果池四周围墙建造 单价为单价为400400元元/m,/m,中间两道隔墙建造单价为中间两道隔墙建造单价为248248元元/m,/m,池底建池底建 造单价为造单价为8080元元/m/m2 2, ,水池所有墙的厚度忽略不计水池所有墙的厚度忽略不计. . (1)(1)试设计污水
