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1、孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版） ，中国人民大学出版社，2015。 1 非寿险精算非寿险精算学学 （第三版）（第三版）参考答案参考答案 第第1章章 非寿险简介非寿险简介（略）（略） 第第2章章 损失模型损失模型 2.1 首先将 2005 年和 2006 年的损失折现到 2004 年中： 2005 年平均损失金额的折现值为：9 .1090 %101 1 1200 2006 年平均损失金额的折现为： 7 .1239 %101 1 1500 2 2004 年的平均损失金额为： 12 E1090.91239.71190.1 33 x 而Pareto, 分布的期望是 E 1 x 用损
2、失次数进行加权，得 13 1 .11907 .1239 3 2 9 .1090 3 1 ，得 = 2380.2 2.2 2 3 0 2 E( )d ()2 1 xxx x 由题意可知，2007 年平均索赔金额的期望值为： ( 5001.053100+6001.052150+7001.05200 ) 450 = 675.8 即：E(x) = 675.8 = 从而， 的矩估计值为 675.8。 2.3 (1,2,;) = =1 L(1,2,;) = (1,2,;) = =1 对L(1,2,;)关于 求偏导并令其等于 0，有： =1 = 0 解得， x x n n i i 1 1 2.4 1 0 1
3、1 ( )E()d(1) ,() i nn xtxtx xiiii ii i t M teeaexat 2.5 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版） ，中国人民大学出版社，2015。 2 2 2 22 ( )()20 1002000 ( )() ()()() ()() 20(100100 )400000 E SE X Var SVar X E NVar NE X Var XE X 分位数=( )2.326( )3471E SVar S 2.6 令 20,20 20, 0 XX X Y为保险人的赔款随机变量。 E(Y) = E(X-20|X20)P(X20)+0P(X20)dx
4、+ 20 P(X20)= (x-20)f(x)dx + 20 P(X20) P(X20) =(x-20)f(x)dx=(x-20)0.2e-0.2xdx=5e-4 + 20 + 20 2.7 4 4 4! P xe ， 1 1 41 24 P xe， 2 24 16 24 exP P(l =1|x =4)= e-1 24 0.6 e-1 24 0.6+ 16e-2 24 0.4 =0.2031 P(l =2|x =4)= 16e-1 24 0.4 e-1 24 0.6+ 16e-2 24 0.4 =0.7969 E1412420.2031 1 0.7969 21.7969PxPx 2.8 2
5、2 2 22 337 333/2 ( )()20 1002000 ( )() ()()() ()() 20(100100 )400000 ( ) ()12 10 0.474 400000 E SE X Var SVar X E NVar NE X Var XE X E SE SE X 3 0 2 422 17.7786.667 10666.67x ， 因此 S 的分布函数为 G(x+666.67; 17.778, 6.667 10-3)，99%分位数=3687 2.9 为简化计算，假设一个货币单位为 5000 元，则有 fX(1)=0.8，fX(2)=0.2 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿
6、险精算学（第三版） ，中国人民大学出版社，2015。 3 0.20.2 (0)0.818731,(1)(1)(0)0.2 0.80.130997 (2)(1)(1)2(2)(0)0.043229 2 SSXS SXSXS feefffe fffff 依此类推，其他计算结果如下表所示。 x ( ) S fx ( ) S F x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999
7、999 2.10 设 1 0 I ，火灾发生 ，火灾不发生 ，q = P (I = 1) = 0.04。对最高赔偿额为 Ai 的第 i 类保单，设 Xi为其理赔总额， i j Y，j = 1，ni为第 j 份保单获得的赔付额，则 = 1 + 2 + + 其中对每个 i， i j Y， （j = 1，ni）独立分布，设其分布与 IBi相同， Bi U (0，Ai)，ui = E (Bi) = Ai / 2， 22 var()/12 iii BA，则总赔付额 S 为： 125 SXXX 55 11 E( ) 2 0.04 (80 1000035 2000025 3000015 500005 100
8、000)70000 2 ii iiii ii n A Snu qq 22 555 229 111 Var( )(1)0.040.960.041.7072 10 412 iiii iiiiiii iii n An A Snu qqnq E( )E( ) (1) E( )99%99% Var( )Var( ) SSS P SSP SS E( ) 99% Var( ) S S ， 1 E( ) (0.99)2.325 Var( ) S S 2.325 Var( ) 1.3724 E( ) S S 2.11 X 的矩母函数为() = 1 /d = 1 （ 1 )d = 0 0 (1 )1， 1 N 的
9、母函数为 1 ( )1(1) N Pzz S 的矩母函数为 1 1 1 1 ( )( )1(1)11(1) 11 SNS MzPMzzz 孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版） ，中国人民大学出版社，2015。 4 这是一个两点混合分布。 2 1 =0 1 ( ) exp0 (1)(1) s x fx x x ， ， FS(x)=1- 1+ exp(- x (1+)，x0 2.12 设 N 表示下个月出行的航班数， 11 ( ,)NB n p， 1 70n ， 1 0.98p 11111 E()68.6,Var()(1)70 0.98 0.021.372Nn pNn pp P 表
10、示飞机上的人员数，M 表示飞机上的乘客数， 22 (,)MB np， 2 200n ， 2 0.9p ， 则 6PM， E( )6200 0.9186 Var( )200 0.9 0.1 18 P P 令 K 表示出行中发生事故的航班数，则 12 . N KIII， 99999. 01 , 0 00001. 0, 1 q q I j Nj,.,2 , 1 2 2 E()E()0.00001 68.60.000686 Var()EVar()VarE()(1)*E()*Var() 0.00001 0.99999 68.60.000011.3720.000686 KqN KI NI NqqNqN 令
11、 S 表示下个月发生事故死亡的人员数： K PPPS. 21 则 22 E( )E( )E()186 0.0006860.1276 Var( )E()Var( )E( ) Var()0.000686 18 1860.00068623.745 SPK SKPPK 第第3章章 费率厘定费率厘定基础基础 3.1 赔付率=已发生损失/已赚保费=125000/200000=0.625 综 合 成 本 率 = 赔 付 率 + 经 营 费 用 率 = 赔 付 率 (1+ 理 赔 费 用 率 )+ 承 保 费 用 率 =0.625 (1+0.14)+0.25=0.9625 3.2 （1）2011 日历年，保单
12、 A 已赚车年=520.5=5；保单 B 已赚车年=1020.5=10； 2011 日历年总已赚车年=5+10=15 （2）截至 2010 年 12 月 31 日， 2010 保单年保单 A 承保车年数=52=10；2010 保单年保单 B 承保车年数=102=20； 因此，2010 保单年承保的总车年数=10+20=30 （3）2010 日历年，保单 A 承保车年数=52=10；保单 B 承保车年数=102=20； 2010 日历年承保的总车年数=10+20=30 3.3 由 x aby 有 bxaylnlnln ， 由最小二乘法， 设 5 1 2 lnlnln i ii bxayS。 孟生
13、旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版） ，中国人民大学出版社，2015。 5 令 0 0 b S a S ， 有， iiii ii yxbxax ybxa lnlnln lnlnln5 2 由 xi=15，xi2=55，ln yi=34.78659，xiln yi=105.24673 代 入 上 面 方 程 组 解 得 ， 088695. 0ln 691233. 6ln b a 223404. 76088695. 0691233. 6lny，148.1371y 3.4 Y = 1.1X， f(x)= () x-1e-x 1 1.1 0 ( )()(1.1)()d 1.1( ) y x y F yP YyPxyP xxex f(y)= () ( y 1.1 ) -1 e- y 1.1 1 1.1 = () y-1( 1 1.1 ) e- y 1.1= ( 1.1 ) () y-1e- 1.
