2016年-数值分析课件

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1、数值分析电子课件,工科研究生公共课程数学系列,辽宁科技大学 理学院 2016年9月,第1章 数值分析与科学计算引论,内容提要： 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害,1.1 数值分析研究对象与特点 一、数值分析研究对象 计算机解决科学计算问题时经历的过程,实际问题,模型设计,算法设计,问题的解,上机计算,程序设计,求,方程求根,牛顿法,程序设计,解,上机计算,实例,数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、

2、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好本门课程。,二、数值分析的特点 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数

3、值方法的简单罗列和堆积。 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。,三、数值分析的学习方法 初学可能会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。 注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的基本原理和基本思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要

4、非常熟悉。 要通过算例学习使用各种数值方法解决实际计算问题。 为掌握本课的内容，还应做一些理论分析和计算练习。,1.2 数值计算的误差,一、误差的来源与分类 在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差。 1、模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差。数学模型与实际问题之间出现的误差称 为模型误差 。 2、观测误差（测量误差） 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。,3、截断误差（方法误差） 数学模型常难于直接求解，

5、往往要用数值方法求近似解替代，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。,4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参 数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差。,误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改。 二、绝对误差、相对误差与有效数字 1、绝对误差与绝对误差限,误差是有量纲的量，量纲同 x，它可正可负。 误差一般无无法 准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的误差绝对值的 一个上界，这个上界称为近似值 x

6、* 的误差限，记为*。它是 正数，有量纲的。如用毫米刻度尺测量长度。误差限是0.5mm。,2、相对误差与相对误差限,3、有效数字 定义1-3 如果近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到 x *的第一位非零数字共有n位，就说x *有n位有效数字.,4、绝对误差，相对误差与有效数字的关系 绝对误差与相对误差：由两者定义可知。,绝对误差与有效数字： 绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。,有效数字与相对误差限,定理说明有效数位越多，相对误差限越小。定理也给出了 相对误差限的求法。,三、数值运算的误差估计 1、四则运算,2、函数误差 当自变量有误差时计算函数值也产生误差，可以利用函数的泰勒展开式

7、估计其误差界。,1.3 误差定性分析与避免误差危害 一、算法的稳定性 用一个算法进行计算，由于初始数据误差在计算中传播 使计算结果误差增长很快，就是数值不稳定的，先看下例。,计算结果,n,法一 (A),法二 (B),0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0.6321 0.3679 0.2642 0.2074 0.1704 0.1480 0.1120 0.2160 -0.7280 7.552,0.6321 0.3679 0.2643 0.2073 0.1708 0.1455 0.1268 0.1121 0.1035 0.0684,二、病态问题与条件数 1、病态问题：对一个数值问题本身如果输入数

8、据有微小扰 动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病态问题。,注意病态问题不是计算方法引起的， 是数值问题自身固有的，因此，对数值问题首先要分清问题是否病态，对病态问题就必须采取相应的特殊方法以减少误差危害。,三、避免误差危害的若干原则 1、要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 x/y， 若0|y|x|，则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避 免。,2、要避免两相近数相减 在数值中两相近数相减有效数字会严重损失。 例如 x=532.65，y=532.52都具有五位有效数字，但 x - y=0.13只有两位有效数字。通过改变

9、算法可以避免两 相近数相减。,3、要防止“大数”吃掉小数 数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性。 如用六位浮点数计算某市的工业总产值，原始数据是各企业的工业产值，当加法进行到一定程度，部分和超过100亿元 （0.11011），再加产值不足10万元的小企业产值，将再也加不进去。而这部分企业可能为数不少，合计产值相当大.这种情况应将小数先分别加成大数，然后相加，结果才比较正确。这个例子告诉我们，在计算机数系中，加法的交换律和结合律可能不成立，这是在大规模数据处理时应注意的问题。,4、注意简化计算步骤，减少

10、运算次数 减少算术运算的次数不但可计算机的计算时间，还能减少误差的积累效应。使参加运算的数字精度应尽量保持一致，否则那些较高精度的量的精度没有太大意义。,误差及算法,误差,算法,数值稳定性概念,算法设计注意要点,分类,度量,传播,舍入误差的产生及定义,截断误差的产生及定义,绝对误差（限）,相对误差（限）,有效数字,三者的联系,一元函数,n元函数,计算函数值问题的条件数,二元算术运算,知 识 结 构 图 一,第2章 插 值 法,内容提要 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值,2.1 引言 许多实际问题都用

11、函数 y=f(x) 来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f(x) 在某个区间 a,b 上存在、连续，但只能给出 a,b 上一系列点的函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便，通常也造一个函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x) 的特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用 P(x) 近似 f(x)。这就引出了插值问题。,1、提出问题（插值法的定义）,2、几何意义、外插、内插,P(x) f(x),x* (外插),x0,x1,x (内插),x2,x3,P(x*) f(x

12、*),3、插值的种类 选取不同的函数族构造 P(x) 得到不同类型的插值 若 P(x) 是次数不超过 n 的代数多项式，就称为多项式插值； 若 P(x) 为分段的多项式，就称为分段插值； 若 P(x) 为三角多项式，就称为三角插值。 本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式 P(x) 的存在唯一性、收敛性及估计误差等。 4、多项式插值问题,插值多项式的存在唯一性,定理2-1 (存在唯一性) 满足插值条件的不超过 n 次的插值多项式是存在唯一的。,2.2 拉格朗日插值 一、线性插值与抛物插值 1、线性插值,2、抛物插值,求解基函数,二、拉格朗

13、日插值多项式 上面针对 n=1 和 n=2 的情况，得到了一次和二次插值多项式，这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。,定理2-2 表明： (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近,插值误差一般情况下越小。 (2) 若被插值函数 f(x) 本身就是不超过 n 次的多项式, 则有 f(x)g(x)。,3、应用举例,用二次插值计算 ln(11.25) 的近似值,并估计误差。,例2-2 给定函数值表,在区间10,12上lnx 的三阶导数 (2/x3) 的上限 M3=0.002, 可得误差估计式,注：实际上,ln(

14、11.25)=2.420368, |R2(11.25)|=0.000058,0,?,分析：求解如上问题等价于求解x关于y的反函数问题。,2.3 均差与牛顿插值公式 一、均差及其性质 问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变化，实际计算不方便，希望把公式表示为如下形式。,1、均差定义,2、均差的基本性质,2、均差的基本性质,2、均差的基本性质,均差计算表,例如 由函数y=(x)的函数表写出均差表.,解 均差表如下,二、牛顿插值公式,解 由差商表知x0,x1=-2,x0,x1,x2=3, x0,x1,x2,x3=-1,于是有,N1(x)=

15、5-2(x+2)=1-2x N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7 N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9,例2-6 对例如中的 (x),求节点为 x0,x1 的一次插值，x0,x1,x2 的二次插值和 x0,x1,x2,x3 的三次插多项式.,例2-7 给出 f(x) 的函数表，求4次牛顿插值多项式，并计算f(0.596) 的近似值。,2.4 埃尔米特插值 不少实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。,

16、y=L10(x),y=L10(x),解法二（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）,2.5 分段低次插值 一、高次插值的病态性质 一般总认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当n-时， Ln(x)不一定收敛于f(x)。20世纪初龙格（Runge）就给了一个等距节点插值多项式Ln(x)不一定收敛于f(x)的例子。,y=L10(x),x,1,y=L10(x),o,-1,0.5,y,1.5,1,龙格现象,二、分段线性插值 分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x).,分段线性插值,三、分段抛物插值,三、分段抛物插值,2.6 三次样条插值 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。 一、三次样条函数,y=L1