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1、双曲线的简单的几何性质,第一课时,2012年12月18日,曲线,性质,方程,范围,对称性,图形,顶点,离心率,椭圆,e越大，椭圆越扁 e越小，椭圆越圆,椭圆的简单几何性质：,关于 轴和 轴对称，关于原点对称,研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,由双曲线的标准方程得,2、对称性,关于x轴、y轴和原点对称.,x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.,用 代替 ，方程 ，即曲线关于 对称。,用 代替 ，方程 ，即曲线关于 对称。,同时用 、 代替 、 ，方程不变，即曲线关于 对称。,（以焦点在 轴上的方程进行研究）,不变,不变,原点,3、顶点,双曲线与对称轴的交点，叫
2、做双曲线的顶点,实轴与虚轴等长的双曲线 叫 等轴双曲线.,当 时 ,则 所以 是双曲线的两个顶点,当 时 ,则 于是与 轴无交点,所以 不是双曲线的顶点。,叫虚轴，长为,叫实轴，长为,2a,2b,4、渐近线,渐近线的演示,思考：渐近线是双曲线特有的几何质， 它与曲线的点有怎样的位置关系？渐近线的斜率又与曲线的形状有怎样的关系呢？。,双曲线上的点向外延伸时，与这两条渐近线逐渐接近。,渐近线的斜率的绝对值越大时，曲线的开口越大，反之亦然。,由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部分即可。,下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线逐渐靠拢。,方案2：考查同横坐标的两点间的距离,方案1
3、：考查点到直线的距离,利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图,-3,-4,例如：画双曲线 的草图,5、离心率,e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大,e 1,思考：离心率的大小对曲线形状有何影响？,用代数方法证明,当 越大时， 也越大，所以曲线的开口越大，反之也成立。,演示板,标准方程,图形,范围,对称性,顶点,离心率,渐近线,关于x轴、y轴对称，原点对称,根据对双曲线性质的研究，请完成下表,越大，开口越大 越小，开口越小,越大，开口越大 越小，开口越小,e越大，开口越大 e越小，开口越小,e越大，开口越大 e越小，开口越小,关于x轴、y轴对称，原点对称,试写出双曲线 与 的几何性质,标准方程,图形,范围,对称性,顶点,离心率,渐近线,对称轴：x轴,y轴 中心：原点,对称轴：x轴,y轴 中心：原点,实轴、虚轴长,实轴长为8、虚轴长为6,实轴长为8、虚轴长为6,尝试练习：,求适合下列条件的双曲线的标准方程。,解：,小结：,本节课所研究的双曲线的几何性质有哪些？,1、焦点在不同的轴上时的标准方程不同，所以渐近线、焦点坐标、顶点坐标也不同。 2、根据几何性质求双曲线方程时需先定位再定值。,1、双曲线的范围、对称性、顶点、离心 率、渐近线 2、渐近线与曲线的位置关系 3、离心率的大小与曲线开口大小的关系。,需要注意的问题：,
